无穷小与0

无穷小等于0么？

我们知道：1=0.999...    ①

这个结论成立的基础就是，我们认为无穷小等于0。

但是在计算下面式子的极限时，如果认为x→∞时，1/x等于0，则整个式子就无法计算了：我们不知道该怎么计算0/0。

(2/x)/(1/x)                        ②

为了解决这个问题，我们可以通过对分母分子同时乘以x的方式使式子恒等于2；而且通过函数图像我们也可以知道，这样做是对的：它是一根平行于x轴，y值恒等于2的直线。所以x→∞时，y肯定也等于2。

但是，约分过程中式子上下都乘以了无穷大量：x，这显然会导致最终的计算变成这样：(2*∞)/∞。这显然是无法计算的。

 

也就是说，如果如果①成立，则②无法计算；如果②成立，则①不成立！！！

 

但是根据上面的分析我们知道，②显然是等于2的。那么是哪里出了问题呢？难道无穷小不等于0么？

我们知道，∞+1=∞，无穷小+1=1。也就是说无穷使得计算变得无法进行。无法进行的原因在于，无穷毁灭了加法。而加法是乘法和除法的基础，如果加法不存在，那么乘法和除法也就无法计算了。

解决这个问题的关键在于极限。通过观察极限接近无穷的方式，我们知道：虽然无穷毁灭了加法，但是我们可以知道两个无穷量之间的运算关系！这也就是说，你不能将无穷量当作是某个确定值，因为你无法在数轴上找到它。你不能认为这个世界上存在一个唯一确定的数，它是无穷大/无穷小。无穷大和无穷小有无穷多个。当我们确定了无穷大和无穷小的关系之后，他们之间也可以相互运算。确定关系的方法，就是观察他们的初等函数形式。这其实有点循环论证的味道。

 

回到最初的问题，无穷小等于0么？可以等于也可以不等于。我们现在知道，无穷小并不是实数。它虽然有很多与实数0相同的性质，比如：任何数乘以无穷小都等于无穷小，但是0是一个唯一确定的数，而无穷小有无穷多个。而且无穷小之间还可以规定各种运算关系，而0不可以。那么为什么还要说0可以是无穷小呢？因为无穷小有无穷多个，运算时等于0也可以作为运算关系被赋予给某个无穷小。

这样说起来可能比较抽象。有个具体的例子：偶数多还是整数多？我们知道，偶数有无穷多个，整数也有无穷多个。而且我们能证明，整数跟偶数一样多：每个整数都能通过乘以2的方式对应到一个偶数上。但是，另一方面我们知道整数中只有一半的数可以被2整除，所以整数的个数应该是偶数的个数的两倍。在这个例子中，作为整数个数的+∞①与作为偶数个数的＋∞②有两种运算关系：+∞①=＋∞②，+∞①=2*(＋∞②)。这都是对的，并且互不矛盾。因为这是两种不同映射方法统计出的结论。无穷量不遵守实数的运算法则，你无法在数轴或者复平面上找到它。所以研究纯粹的无穷量没有意义。我们更关心的是，根据某种对应关系，他们之间可以有什么样的运算关系。也就是说，无穷量之间的运算关系，取决于你要研究的问题的特点。你观察到偶数跟奇数能一一对应时，偶数个数就等于整数的一半；你观察到偶数能与整数一一对应时，偶数的个数就等于整数。偶数和整数都是无穷多个，他们之间的大小取决于你观察他们的方式。他的本质是对数学无法处理无穷量的一种完善，是对数集的扩展。