牛顿法

首先，选择一个接近函数 $f (x)$ 零点的 $x 0$ ，计算相应的 $f (x 0)$ 和切线斜率 $f'(x 0)$ （这里 $f'$ 表示函数 $f$ 的导数）。然后我们计算穿过点 $(x 0, f (x 0))$ 并且斜率为 $f'(x 0)$ 的直线和 $x$ 轴的交点的 $x$ 坐标，也就是求如下方程的解：

$x\cdot f'(x_0)+f(x_0)-x_0\cdot f'(x_0)=0$

我们将新求得的点的 $x$ 坐标命名为 $x 1$ ，通常 $x 1$ 会比 $x 0$ 更接近方程 $f (x) = 0$ 的解。因此我们现在可以利用 $x 1$ 开始下一轮迭代。迭代公式可化简为如下所示：

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

已经证明，如果 $f'$ 是连续的，并且待求的零点 $x$ 是孤立的，那么在零点 $x$ 周围存在一个区域，只要初始值 $x 0$ 位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果 $f'(x)$ 不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍

posted @ 2009-03-11 05:16 macula7 阅读(201) 评论(0) 编辑收藏举报

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牛顿法

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