01背包问题中滚动数组的理解
时间：2022/12/28
问题：
背包的最大重量为4。每个物品只有一个，物品重量及价值如下所示：
| 重量 | 价值 | |
| 物品0 | 1 | 15 |
| 物品1 | 3 | 20 |
| 物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少？
上面这个题目是一个典型的01背包问题，可以通过构建一个二维dp数组来进行求解，这种方式比较容易理解。但实际上该问题的状态是可以压缩的，我们可以看一下使用二维数组时的递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]。从中可以发现如果把dp[i-1]这一层拷贝到dp[i]上，表达式可以修改成：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-weight[i]] + value[i]。由于这个表达式中只涉及到第i层，不再需要第i-1层，所以可以将原来的二维dp数组简化成一维dp数组，即dp[j]（也就是题目所说的滚动数组）。
下面我们就按照动规五部曲来进行分析：
1. 确定dp数组的定义
在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2. 一维dp数组的递推公式
dp[j]有两个选择，一是取自己，相当于二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，另一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i。需要取这两个选择的最大值。
所以递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i];
3. 一维dp数组如何初始化
p[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置，初始为0，其他下标应该初始化多少呢？
看一下递归公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。
4. 一维dp数组遍历顺序
代码如下：
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品 for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); } }
上述代码需要注意两个问题：
一是遍历背包容量时为什么要>=weight[i]？
因为下面一行的递推公式其实就是二维dp数组中j>=weight[i]时的递推公式，当j<weight[i]时，二维dp数组应该有递推公式dp[i][j]=dp[i-1][j]，放到一维dp数组中应该是dp[j]=dp[j]，也就是可以不用写。
二是为什么一维dp遍历的时候，背包是从大到小？
举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历，就可以保证物品只放入一次呢？
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 （dp数组已经都初始化为0）
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环，每次取得状态不会和之前取得状态重合，这样每种物品就只取一次了。
5. 举例推到dp数组
参考：
