KMP算法中对于next数组构建的理解
时间：2022/10/12
一. next数组原理的说明
KMP算法一般用于解决字符串匹配的问题，在KMP算法出现之前，字符串匹配一般通过双层for循环的暴力方法解决，时间复杂度为O(n*m)，其中n为主串的长度，m为子串的长度。而KMP算法的出现使字符串匹配的时间复杂度减少到O(n+m)，他的主要思想是由于已经知道之前遍历过的字符，那是否可以利用这些信息来避免暴力算法中主串指针回退的步骤，这样主串指针就可以永远向前移动，从而达到线性时间的时间复杂度。具体可以参照下图：
从上面我们也可以看出，KMP算法的核心在于next数组的构建。那next数组的本质是什么呢？其实就是一个前缀表，用来记录下标i之前（包括i）的字符串中，有多大长度相同前缀和后缀。它的作用是用来在主串字符和子串字符不相等时来回退，它记录了主串和子串不匹配的时候，子串应该从哪里开始重新匹配。可以通过下图来理解next数组的作用：
在解释了next数组的含义与next数组的作用之后，接下来最重要的就是如何构建next数组。求解子串next数组主要分为两步：首先是初始化，这里我们要初始化三个值，第一个值是next[0]=0，即对于第一个字符的最长相等前后缀的长度为0，这是很好的理解的，网上对于next[0]的初始化值有不同的方案，个人感觉这里初始化为0比较好理解，第二值是prefix_len=0，该值表示的是i之前的字符组成的字符串的最长相等前后缀长度，即当前最长相等前后缀的长度，也可以理解为要比较的下标值（这里为什么说prefix_len可以作为要比较的下标值，可以假设prefix_len=2，说明对于i之前的字符来说，前两个字符组成的前缀和后两个字符组成的后缀是相等的，所以此时要跳过前两个字符来从第三个字符开始比较，又由于数组的下标从0开始，所以第三个数组的下标为2，也就是prefix_len的值），一开始的时候为0，第三个值是子串指针i，也就是for循环的循环变量，这里初始化为1，因为next[0]已经初始化为0，接下来要求的是next[1]；初始化完成之后就要开始求next[i]的值，这时会有两种情况，分别是前后缀相等的情况和前后缀不相等的情况，这里的前后缀是否相等比较的是prefix_len处的字符是否与i处的字符相等，因为前面也说了prefix_len可以理解为要比较的下标值，相等的时候比较容易理解，此时next[i]=prefix_len+1，这是因为对于前面i-1个字符来说，它们的前prefix_len个字符与后prefix_len个字符相等，若下标为prefix_len处的字符（也就是第prefix_len+1个字符）与下标为i的字符相等，那么对于前i个字符来说，前prefix_len+1个字符与后prefix_len+1个字符也相等，即next[i]=prefix_len+1。相比于前后缀相等的情况，前后缀不相等的情况会更难理解一些，若prefix_len处的字符与i处的字符不相等，那么需要令prefix_len=next[prefix_len]，此时再比较两处的字符是否相等，若不相等则一直循环，以下面的字符串ABACABAB为例，求next[7]的值，也就是指针i指向了字符B，此时的prefix_len=3，此时需要比较下标为3的字符C是否与下标为7的字符B相当，很明显不相等，此时令prefix_len=next[prefix_len-1]=next[2]=1，然后再比较下标为1处的字符B是否与下标为7处的字符B相等，可能大家在这里对于操作prefix_len=next[prefix_len]不理解，其实可以这样理解，在之前prefix_len=3时，说明对于字符串ABACABA来说，前三个字符ABA与后三个字符ABA相等，此时令prefix_len=next[prefix_len]=next[3-1]=1，需要注意这步操作中的next[prefix_len]表示的是第2个字符前（包括第2个字符的）的最长相等前后缀的长度，这里的值为1，即对于ABA这个字符串来说，第一个字符A与第三个A是相等的，根据前面说的，对于ABACABA来说，前三个字符ABA和后三个字符ABA相等，这里可以进行如下推理，前三个字符中第一个和第三个字符相等，由于前三个字符和后三个字符相等，所以可以知道在后三个字符中第一个字符A和第三个字符A相等，所以可以得知得知前三个字符中第一个字符与后三个字符中第三个字符相等（下标分别为0和6），这样就得到了前后缀的一些信息，根据这个信息，只需要比较前三个字符中第一个字符之后的一个字符（下标为2的字符）和后三个字符中第三个字符之后的一个字符（下标为7的字符）是否相等即可，如果相等，就可以得到前缀AB（下标为1和2）等于后缀AB（下标为i-1和i），这样就可以求得next[i]。
二. next数组求解的代码
根据上面对next数组构建的说明，可以写出如下代码：
private static int[] getNext(String patt){ int len = patt.length(); int[] next = new int[len]; next[0] = 0; // next数组的第一个元素为0 int prefix_len = 0; // 当前最长相等前后缀的长度,也可以看作下一个要比较的位置 int i = 1; // 由于next[0]已知，所以从next[1]开始求 while(i < len){ // 循环求next数组 if(patt.charAt(prefix_len) == patt.charAt(i)){ // 如果相等 prefix_len++; next[i] = prefix_len; i++; }else{ // 如果不相等 if(prefix_len == 0){ next[i] = 0; i++; }else{ prefix_len = next[prefix_len - 1]; } } } return next; }
三. KMP算法与next数组的结合
下面的方法实现了KMP算法，在实现了next数组之后，KMP算法的实现也就变的很简单：
private static int kmp(String s, String patt){ int[] next = getNext(patt); // 获取next数组 int len1 = s.length(); int len2 = patt.length(); int i = 0; // 主串中的指针 int j = 0; // 子串中的指针 while(i < len1){ if(s.charAt(i) == patt.charAt(j)){ // 如果主串第i个字符与主串第j个字符相等，则比较下一个字符 i++; j++; }else if(j > 0){ // 如果不相等且子串不在起始位置，则根据next数组移动子串指针 j = next[j - 1]; }else{ // 如果不相等且子串在起始位置，那么主串移动到下一个位置 i++; } if(j == len2){ // 如果子串指针等于子串长度，说明匹配成功，返回起始位置 return i - j; } } return -1; // 匹配失败返回-1 }
其实KMP算法中为什么主串指针不用回退也是一个很难理解的问题，之后有时间的话再研究一下，埋一个坑...
参考：
