RSA算法加解密证明过程

 

时间：2021/12/15

 

对于给定的m和n，一共存在两种情况，一种是gcd(m,n)=1（即m和n是互素的），另一种是gcd(m,n)>1，下面我们针对两种情况分别进行讨论：

1）m和n互素

由于ed≡1(modφ(n))，所以ed可以写成k·φ(n)+1的形式，也就是下图黄框中的部分，然后进行拆分，由于这里假设m和n是互素的，所以根据欧拉定理，后半部分为1，解密成功。

 

2）m和n不互素

这里有一个重点在上一张图片的最后一行，就是根据已知条件，可以推导出m<n。因为n是由素数p和q构成的，并且m<n，所以m有且只有p和q中的一个，这里可以假设m和n的公因子是p，那也就存在一个数s，使得m=s*p，因此m和q就是互素的（这里不是p了），所以欧拉定理就成立了，然后剩下的用到了欧拉函数的一些知识，按照图片中的证明过程很容易可以推导出来（图片中给了一些步骤的说明了）。