牛客周赛 Round 79

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A. 小红的合数寻找

题意：在$[x,2x]$中找一个合数。

如果$x=1$，则输出$-1$，如果$x=2$，输出$4$。否则如果$x$是奇数直接让他加一即可。

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void solve() {
    int x;
    std::cin >> x;
    if (x == 1) {
    	std::cout << -1 << "\n";
    	return;
    }
    if (x == 2) {
    	std::cout << 4 << "\n";
    	return;
    }
    x += x & 1;
    std::cout << x << "\n";
}

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B. 小红的小球染色

题意：有$n$个小球, 每次随机选择两个相邻的球染色. 问最少操作数和最多操作数.

要让操作数最小, 那么我们每三个球里选右边两个染色即可保证让最多的球不被染色, 进而操作数最少, 答案为$\lfloor \frac{n}{3}\rfloor +(n\mathrm{\%}3==2)$.
最多操作就是相邻两个两个选, 可以选$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$个.

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::cout << (n / 3 + (n % 3 == 2)) << " "  << n / 2 << "\n";
}

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C. 小红的二叉树

题意: 求一棵满二叉树里有多少长度为2的简单路径.

高度为1个数为0, 高度为2则是1. 高度为3每个点都可以向上两次贡献一条路径, 以及每两个点可以通过父亲贡献一条路径。模拟累加即可。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    if (n == 1) {
    	std::cout << 0 << "\n";
    	return;
    }

    if (n == 2) {
    	std::cout << 1 << "\n";
    	return;
    }

    Z ans = 1;
    Z num = 4;
    for (int i = 3; i <= n; ++ i) {
    	ans += num + num / 2;
    	num *= 2;
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

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D. 小红的“质数”寻找

题意：在$[x,2x]$中找一个数位和是质数的数。

这题正解是分类讨论，最高位为1则输出"2"+$n-1$个0，为2输出"3"+$n-1$个0。类似的可以得出其他情况的解。我写了个模拟，因为数位和最多1e6左右的数量级，而质数的出现相对来说是比较频繁的，模拟加法然后判断就行。(不过考虑有进位的影响，每次加一并不一定导致数位和增加，所以我这个做法不太严谨，赛时跑了三百多ms，可能是数据水了)。

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const int N = 2e7 + 6;

std::vector<int> primes;
bool st[N];
void init(int n) {
	st[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++ i) {
		if (!st[i]){
			primes.push_back(i);
		}

		for (auto & p : primes) {
			if (p * i > n) {
				break;
			}

			st[p * i] = true;
			if (i % p == 0) {
				break;
			}
		}
	}
}

void solve() {
    std::string s;
    std::cin >> s;
   	std::reverse(s.begin(), s.end());

   	auto check = [&]() -> bool {
   		int sum = 0;
   		for (auto & c : s) {
   			sum += c - '0';
   		}

   		return !st[sum];
   	};

   	int t = 1;
   	for (auto & c : s) {
   		t += c - '0';
   	}

   	while (t -- ) {
   		if (check()) {
   			std::reverse(s.begin(), s.end());
   			std::cout << s << "\n";
   			return;
   		}

   		for (int i = 0; ; ++ i) {
   			if (i >= s.size()) {
   				s.push_back('1');
   				break;
   			} 

   			if (s[i] == '9') {
   				s[i] = '0';
   			} else {
   				s[i] += 1;
   				break;
   			}
   		}
   	}

   	std::cout << -1 << "\n";
}


int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(false), std::cin.tie(nullptr), std::cout.tie(nullptr);
	init(2e6);
	int T = 1; std::cin >> T;
	while (T -- ) {
		solve();
	} 
	return 0;
}

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E. 小红的好排列

题意：求所以长度为$n$的排列中有多少个满足$(p_i\times i)\mathrm{\%}3==0$的位置恰好有$\frac{n}{2}$个。

对于$i\mathrm{\%}3==0$的位置，不管放什么数都是$3$的倍数，那么我们还需要$\frac{n}{2}-\frac{n}{3}$个位置是满足条件。那么我们要从所有三的倍数里选出$\frac{n}{2}-\frac{n}{3}$个放在其余$n-\frac{n}{3}$个位置，然后其余的$\frac{n}{3}-(\frac{n}{2}-\frac{n}{3})$个三的倍数必须要放在$i\mathrm{\%}3==0$的位置，然后其他数随便放。
设$a=\frac{n}{2}-\frac{n}{3},b=\frac{n}{3}-(\frac{n}{2}-\frac{n}{3})$。
答案为$C(\frac{n}{3},a)\times C(n-\frac{n}{3},a)\times a!\times C(\frac{n}{3},b)\times b!\times (n-\frac{n}{3})!$

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;

    if (n / 3 + n / 3 < n / 2) {
    	std::cout << 0 << "\n";
    	return;
    }

    std::vector<Z> fact(n + 1);
    fact[0] = 1;

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    	fact[i] = fact[i - 1] * i;
    }

    auto C = [&](int n, int m) -> Z {
    	if (n < m) {
    		return 0;
    	}

    	return fact[n] / fact[m] / fact[n - m];
    };

    int a = n / 2 - n / 3, b = n / 3 - (n / 2 - n / 3);
    Z ans = C(n / 3, a) * C(n - n / 3, a) * fact[a] * C(n / 3, b) * fact[b] * fact[n - n / 3];
    std::cout << ans << "\n";
}

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F. 小红的小球染色期望

题意：有$n$个小球, 每次随机选择两个相邻的球染色。 问操作数的期望。

设$f_i$为有$i$个小球时的期望，则答案为$f_n$。
考虑如何求$f_i$，发现操作一次后，相当于把操作位置的两边断开了，左右两边不可能有一起操作的情况，所以可以求左边的期望和右边的期望的和，就是操作个数的期望。$n-1$的位置每个位置有$\frac{1}{n}$概率操作到，那么所有情况的期望为$\sum _{j=1}^{i-1}\frac{1}{i-1}(f[j-1]+f[n-(j+1)])+1=2\frac{1}{i-1}\sum _{j=1}^{i-2}f[j]+1$。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    if (n == 1) {
    	std::cout << 0 << "\n";
    	return;
    }

    std::vector<Z> f(n + 1), sum(n + 1);
    f[2] = sum[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; ++ i) {
    	f[i] = (Z)1 / (Z)(i - 1) * 2 * sum[i - 2] + 1;
    	sum[i] = sum[i - 1] + f[i];
    }
    std::cout << f[n] << "\n";
}