Codeforces Round 998 (Div. 3)


A. Fibonacciness

题意:给你a1,a2,a4,a5,你可以让a3等于任何数,求最大有多少个i满足1<=i<=3,ai+ai+1=ai+2

枚举a3分别等于a1+a2a4a2,a5a4的情况取最大值即可。

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void solve() {
	int a, b, c, d;
	std::cin >> a >> b >> c >> d;
	int ans1 = 1;
	if (b + a + b == c) {
		++ ans1;
	}

	if (a + b + c == d) {
		++ ans1;
	}

	int ans2 = 1;
	if (b + d - c == c) {
		++ ans2;
	}

	if (a + b == d - c) {
		++ ans2;
	}

	int ans3 = 1;
	if (a + b == c - b) {
		++ ans3;
	}
	if (c - b + c == d) {
		++ ans3;
	}

	std::cout << std::max({ans1, ans2, ans3}) << "\n";
}

B. Farmer John's Card Game

题意:n×m个牌分在n个人手里,每人手里m个,要有一个排列使得按照这个排列上的顺序出牌,让所有人都可以出完,出牌规则是要等于上一个人出的牌。

要出完所有牌,那么打出的牌肯定是nm个牌按从小到大顺序出。那么从小到大枚举,看当前出这个牌的人上次出牌是不是在in之前就行,因为一轮是n个人,总共m轮正好出完,所以一个人如果在一轮出两张以上的牌那么会有一个人有牌出不来。

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void solve() {
    int n, m;
    std::cin >> n >> m;
    std::vector<int> a(n * m);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	for (int j = 0; j < m; ++ j) {
    		int x;
    		std::cin >> x;
    		a[x] = i;
    	}
    }

    std::vector<int> ans(n), last(n, -n);
    for (int i = 0; i < n * m; ++ i) {
    	if (i - last[a[i]] < n) {
    		std::cout << -1 << "\n";
    		return;
    	}

    	last[a[i]] = i;
    	if (i < n) {
    		ans[i] = a[i];
    	}
    }

    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cout << ans[i] + 1 << " \n"[i == n - 1];
    }
}

C. Game of Mathletes

有n个数,每次Alice选一个数aBob选一个数b,如果a+b=k,那么分数加一,问最终分数。

分数是固定的,因为如果牌库里有ka那么Bob一定会选。那么计算每个aka能产生的贡献即可。

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void solve() {
    int n, k;
    std::cin >> n >> k;
    std::vector<int> cnt(2 * n + 1);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	int x;
    	std::cin >> x;
    	++ cnt[x];
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k / 2; ++ i) {
    	if (k % 2 == 0 && i == k / 2) {
    		ans += cnt[i] / 2;
    	} else {
    		ans += std::min(cnt[i], cnt[k - i]);
    	}
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

D. Subtract Min Sort

题意:一个数组a,你每次可以让两个相邻的数一起减去他们之中的最小值。问能不能使数组非递减。

假设[1,i]已经非递减,那么如果ai>ai+1,那么操作ii+1是没用的,只能操作i1i,所以让ai=ai1。如果ai<=ai+1,如果我们不操作的话,遇到ai+1>ai+2,那么只操作i,i+1是不够的,因为这样后ai=0,而ai1>ai,所以还是得让ai=ai+1。如果后面没有出现递减的情况,那么我们这样操作也不会影响数组。所以每次都让ai=ai1
注意特判a1>a2的情况。

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void solve() {
    int n;
    std::cin >> n;
    std::vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    	std::cin >> a[i];
    }

    if (a[0] > a[1]) {
    	std::cout << "NO\n";
    	return;
    }

    for (int i = 1; i + 1 < n; ++ i) {
		a[i] -= a[i - 1];

    	if (a[i] > a[i + 1]) {
    		std::cout << "NO\n";
    		return;
    	}
    }

    std::cout << "YES\n";
}

E. Graph Composition

题意:给你两个图f,g,你可以每次操作给f加一条边或者减一条边。问让两个图任意两个点联通性相同需要的最小操作数。

我们给两个图都开一个并查集记录集合。我们用fu,gu表示点u在两个图所在的集合。
首先如果(u,v)f,并且gugv,那么这条边一定要删。
然后枚举g的每个集合,如果有一个vgu并且vfu,那么要加一条边,同时在f的集合里合并fufv

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void solve() {
    int n, m, k;
    std::cin >> n >> m >> k;
    std::set<std::pair<int, int> > s1, s2;

    std::vector<int> fa1(n + 1), fa2(n + 1);
    std::iota(fa1.begin(), fa1.end(), 0);
    std::iota(fa2.begin(), fa2.end(), 0);

    std::function<int(int)> find1 = [&](int x) -> int {
    	return x == fa1[x] ? x : fa1[x] = find1(fa1[x]);
    };

    std::function<int(int)> find2 = [&](int x) -> int {
    	return x == fa2[x] ? x : fa2[x] = find2(fa2[x]);
    };

    for (int i = 0; i < m; ++ i) {
    	int u, v;
    	std::cin >> u >> v;
    	s1.insert({u, v});
    }

    for (int i = 0; i < k; ++ i) {
    	int u, v;
    	std::cin >> u >> v;
    	fa2[find2(u)] = find2(v);
    	s2.insert({u, v});
    }

    int ans = 0;
    for (auto & [x, y] : s1) {
    	if (find2(x) != find2(y)) {
    		++ ans;
    	} else {
    		fa1[find1(x)] = find1(y);
    	}
    }

    std::map<int, std::vector<int> > mp;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    	mp[find2(i)].push_back(i);
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
    	for (auto & x : mp[i]) {
    		if (find1(x) != find1(i)) {
    			++ ans;
    			fa1[find1(x)] = find1(i);
    		}
    	}
    }

    std::cout << ans << "\n";
}

F. Multiplicative Arrays

题意:求有多少数组a,满足1|a|n,1aik,以及i=1|a|ai=x,(1xk)

注意到因为k只有1e5,那么它的质因子是有限的,最多只能让log2k个地方不填1。那么我们先计算序列乘积为i长度为j且每个数都大于1的方案数,记为fi,j
那么fi,j=p|i,p>1fi/p,j1,意为在乘积为i的因子长度为j1的序列后面加上p这个因子。
有了f后,那么记ansk为乘积为k的满足条件数组个数,那么如果我们有j个不为1的数,数组长度为i,那么有C(i,j)种填法,则ansk=i=1nj=1min(log2i,n)C(i,j)fk,j,注意到i=1nC(i,j)等于C(n+1,j+1),这是常用的组合数学公式。 那么ansk=j=1min(log2i,n)C(n+1,j+1)fk,j

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void solve() {
	int n, k;
	std::cin >> k >> n; 
	std::vector<std::vector<int> > factor(k + 1);
	for (int i = 2; i <= k; ++ i) {
		for (int j = i; j <= k; j += i) {
			factor[j].push_back(i);
		}
	}

    int m = std::__lg(k) + 1;
    std::vector f(k + 1, std::vector<Z>(m + 1));
    for (int i = 1; i <= k; ++ i) {
        for (int j = 1; j <= m; ++ j) {
            if (i > 1 && j == 1) {
                f[i][j] = 1;
            } else {
                for (auto & x : factor[i]) {
                    f[i][j] += f[i / x][j - 1];
                }
            }
        }
    }

    std::vector<Z> ans(k + 1);
    ans[1] = n;
    for (int i = 2; i <= k; ++ i) {
        for (int j = 1; j <= std::min(m, n); ++ j) {
            Z C = 1;
            for (int a = 1, b = n + 1; a <= j + 1; ++ a, -- b) {
                C = C * b / a;
            }

            ans[i] += C * f[i][j];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= k; ++ i) {
        std::cout << ans[i] << " \n"[i == k];
    }
}
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