决策单调性

定义

顾名思义，就是说在 DP 取最值的过程中选的转移点 $j$ 是单调的。只要有这个性质，就可以优化枚举转移的复杂度。

充要条件

$$f_i=\text{最值}(g_j+w(j+1,i))$$

$w$ 满足四边形不等式。

这里以取 $min$ 为例。假设有决策点 $j_1<j_2$，$w$ 满足四边形不等式等价于 $\mathrm{\Delta }w(j_1)\ge \mathrm{\Delta }w(j_2)$，这样才能让它一直是单调的。只要把 $\mathrm{\Delta }w$ 转换成两个 $w$ 相减就可以得到式子 $w(j_1,i_2)-w(j_1,i_1)\ge w(j_2,i_2)-w(j_2,i_1),j_1<j_2<i_1<i_2$，再移项就是 $w(j_1,i_1)+w(j_2,i_2)\le w(j_1,i_2)+w(j_2,i_1)$。即 $\text{交叉}\le \text{包含}$。

以上三种形式，只要可以验证（指暴力）某一个，即可认为 $w$ 满足四边形不等式。

推导决策单调性

反证法，设 $f_{i1}\leftarrow f_{j2},f_{i2}\leftarrow f_{j1}$，可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{f}_{j2}+w(j2,i1)\le f_{j1}+w(j1,i1)1\\ f_{j2}+w(j2,i2)\ge f_{j1}+w(j1,i2)\\ w(j_1,i_1)+w(j_2,i_2)\le w(j_1,i_2)+w(j_2,i_1)2\end{array}$$

1 式加 2 式得：

$$\{\begin{array}{l}{f}_{j2}+w(j2,i2)\le f_{j1}+w(j1,i2)\\ f_{j2}+w(j2,i2)\ge f_{j1}+w(j1,i2)\end{array}$$

矛盾。

应用

当 $g_j$ 与 $f_j$ 无关时，直接整体二分。

否则，转化一下。决策点单调等价于每个决策点被转移到的集合是连续区间且单调。

当 $\text{交叉}\le \text{包含}$ 时，有这样的图像（y 轴应为 $f_j+w(j,i)$）：

求 $min$ 维护红色，用单调队列加二分；求 $max$ 维护黑色，单调栈+二分。

$\text{交叉}\ge \text{包含}$ 时反之。

推广

满足四边形不等式和 $w(j1,i2)\le w(j2,i1)$ 后，同样可以优化区间 DP、前 $i$ 分 $j$ 段的 DP。