P1586 四方定理

P1586 四方定理

思路分析

对于一个数 $i$ ,它可能由 $j$ ($1\le j \le 4$) 个平方数组成。

我们不妨设 $dp_{i,j}$ 为数 $i$ 由 $j$ 个平方数所组成的方案。

那么很容易想到 $dp_{i,j} += dp_{i-k*k,j-1}$ $(k*k\le i)$。即枚举所有小于 $i$ 的平方数，加上包含其的方案数。

于是我们就能得到以下代码

点击查看代码

	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=32768;i++){
		for(int j=1;j<=4;j++){
			for(int k=1;k*k<=i;k++){
					dp[i][j]+=dp[i-rec[k]][j-1];
			}
		}
	}

乍看似乎没什么问题。但输入 $5$ 后会发现，标准答案是 $1$ ,输出却是 $2$。

这是怎么回事呢？仔细研究后会发现。如果这么枚举的话，$5=2^2 + 1^2$ 和 $5 = 1^2+2^2$ 被当成两种方案被统计了两次。

此时，需要交换枚举顺序，令一种方案被其和数中的最高次方平方数累计。

简单来说，就是令 $5$ 被 $2^2$ 统计，而不是 $1^2$ 。

于是乎得到以下代码。

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	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i*i<=32768;i++){
		for(int j=i*i;j<=32768;j++){
			for(int k=1;k<=4;k++){
				dp[j][k]+=dp[j-rec[i]][k-1];
			}
		}
	}

至此，此题就可以 $\color{green}{AC}$ 啦。

code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int rec[32770],dp[32770][5];
int t,n;
int main(){
	scanf("%d",&t);
	for(int i=1;i*i<=32768;i++) rec[i]=i*i;
	dp[0][0]=1;
	for(int i=1;i*i<=32768;i++){
		for(int j=i*i;j<=32768;j++){
			for(int k=1;k<=4;k++){
				dp[j][k]+=dp[j-rec[i]][k-1];
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=t;i++){
		scanf("%d",&n);
		int num=0;
		for(int j=1;j<=4;j++) num+=dp[n][j];
		cout<<num<<endl;
	}
	return 0;
} 

summary

对于去重似乎打开了新世界的大门。

仔细回想，通过规定顺序来去重的方法已经不是第一次见了。

在深搜中我们经常通过增加变量 $last$ 来固定枚举顺序以达到剪枝的作用。这里剪掉的，恰好就是重复的方案。

在质数筛中，线性筛法就是通过保证每个合数 $i * p$ 只会被它最小质因子 $p$ 筛一次，从而优化掉了被重复筛的合数。和此题是不是有着异曲同工之妙！

作者的话

$DP$ 百道第四题哈哈哈。加油

-$End$-

$2023.1.2$