P1586 四方定理
思路分析
对于一个数 \(i\) ,它可能由 \(j\) (\(1\le j \le 4\)) 个平方数组成。
我们不妨设 \(dp_{i,j}\) 为数 \(i\) 由 \(j\) 个平方数所组成的方案。
那么很容易想到 \(dp_{i,j} += dp_{i-k*k,j-1}\) \((k*k\le i)\)。即枚举所有小于 \(i\) 的平方数，加上包含其的方案数。
于是我们就能得到以下代码
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dp[0][0]=1;
for(int i=1;i<=32768;i++){
for(int j=1;j<=4;j++){
for(int k=1;k*k<=i;k++){
dp[i][j]+=dp[i-rec[k]][j-1];
}
}
}
乍看似乎没什么问题。但输入 \(5\) 后会发现，标准答案是 \(1\) ,输出却是 \(2\)。
这是怎么回事呢？仔细研究后会发现。如果这么枚举的话，$5=2^2 + 1^2 $ 和 \(5 = 1^2+2^2\) 被当成两种方案被统计了两次。
此时，需要交换枚举顺序，令一种方案被其和数中的最高次方平方数累计。
简单来说，就是令 \(5\) 被 \(2^2\) 统计，而不是 \(1^2\) 。
于是乎得到以下代码。
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dp[0][0]=1;
for(int i=1;i*i<=32768;i++){
for(int j=i*i;j<=32768;j++){
for(int k=1;k<=4;k++){
dp[j][k]+=dp[j-rec[i]][k-1];
}
}
}
至此，此题就可以 \(\color{green}{AC}\) 啦。
code
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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int rec[32770],dp[32770][5];
int t,n;
int main(){
scanf("%d",&t);
for(int i=1;i*i<=32768;i++) rec[i]=i*i;
dp[0][0]=1;
for(int i=1;i*i<=32768;i++){
for(int j=i*i;j<=32768;j++){
for(int k=1;k<=4;k++){
dp[j][k]+=dp[j-rec[i]][k-1];
}
}
}
for(int i=1;i<=t;i++){
scanf("%d",&n);
int num=0;
for(int j=1;j<=4;j++) num+=dp[n][j];
cout<<num<<endl;
}
return 0;
}
summary
对于去重似乎打开了新世界的大门。
仔细回想，通过规定顺序来去重的方法已经不是第一次见了。
在深搜中我们经常通过增加变量 \(last\) 来固定枚举顺序以达到剪枝的作用。这里剪掉的，恰好就是重复的方案。
在质数筛中，线性筛法就是通过保证每个合数 \(i * p\) 只会被它最小质因子 \(p\) 筛一次，从而优化掉了被重复筛的合数。和此题是不是有着异曲同工之妙！
作者的话
\(DP\) 百道第四题哈哈哈。加油
-\(End\)-
\(2023.1.2\)
