P5662 [CSP-J2019] 纪念品

题目

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题目描述
 
小伟突然获得一种超能力，他知道未来 T 天 N 种纪念品每天的价格。某个纪念品的价格是指购买一个该纪念品所需的金币数量，以及卖出一个该纪念品换回的金币数量。
 
每天，小伟可以进行以下两种交易无限次：
1. 任选一个纪念品，若手上有足够金币，以当日价格购买该纪念品；
2. 卖出持有的任意一个纪念品，以当日价格换回金币。
 
每天卖出纪念品换回的金币可以立即用于购买纪念品，当日购买的纪念品也可以当日卖出换回金币。当然，一直持有纪念品也是可以的。
 
T 天之后，小伟的超能力消失。因此他一定会在第 T 天卖出所有纪念品换回金币。
 
小伟现在有 M 枚金币，他想要在超能力消失后拥有尽可能多的金币。
 
输入格式
 
第一行包含三个正整数 T, N, M，相邻两数之间以一个空格分开，分别代表未来天数 T，纪念品数量 N，小伟现在拥有的金币数量 M。
 
接下来 T 行，每行包含 N 个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔。第 i 行的 N 个正整数分别为 P_{i,1}，P_{i,2},……,P_{i,N}，其中 P_{i,j} 表示第 i 天第 j 种纪念品的价格。
 
输出格式
 
输出仅一行，包含一个正整数，表示小伟在超能力消失后最多能拥有的金币数量。
 

分析

题目中说了，求在最后将所有纪念品卖掉后能拥有的最多金币数量。

那么我们就可以设 $dp_{i}$ 表示在第 $i$ 天把所有纪念品都卖掉后能拥有的最多金币的数量。

由于对于第 $i-1$ 天，卖出纪念品和买入纪念品的价格相同，因此，我们可以在第 $i-1$ 天先将手上所有的纪念品都卖掉。然后利用与次日相同纪念品的价格差挑选最佳纪念品从中赚取利润（是的，这就叫中间商赚差价）。即可求出第 $i$ 天初始得到的最大金币（这里指的也是在第 $i$ 天将所有纪念品卖掉后的，即$dp_i$ ）。

那么他的状态转移方程就是：

$dp_{i}=\max${$dp_{i-1}-在 i-1 天买纪念品的总花费+在第 i 天卖纪念品所得到的总收益$}

还有变量无法表示出来，我们就将他加入状态转移方程中。（相信有聪明的小朋友已经看出来接下来就是标准的完全背包了）

$dp_{i,j}$ 表示用第 $i$ 天把所有纪念品都卖掉后能拥有的最多金币花费$j$元购买纪念品所能得到的最大价值。

花费的是第 $i$ 天购买纪念品的价格，得到的价值为第 $i+1$ 天卖出后得到的收益。

对于一个纪念品 $k$ 。

$dp[i][j]=\max(dp[i][j],dp[i][j-val[i][k]]+val[i+1][k])$

第 $i+1$ 天能得到的最多金币数为:

$ans=max(ans,num-j+dp[i][j])$

$num$ 是第 $i$ 天获得的最大金币数， $ans$ 是第 $i+1$ 天能得到的最多金币数。

写代码的过程中可以发现我们己经枚举了天数$t$，且在状态转移方程中 $i$ 丝毫不动，因此可以将其省略。

code

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
int T,n,m;
int dp[10005],val[105][1005];
int main(){
	scanf("%d%d%d",&T,&n,&m);
	for(int i=1;i<=T;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&val[i][j]);
	
	int ans=m;
	for(int t=1;t<T;t++){
		memset(dp,0xcf,sizeof(dp));
		dp[0]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=val[t][i];j<=ans;j++){
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-val[t][i]]+val[t+1][i]);
			}
		}
		int num=ans;
		for(int i=1;i<=num;i++) ans=max(ans,num-i+dp[i]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

summary

通过这题，我们可以总结出，一题DP可以先将状态设为题目要求的东西，再列出状态转移方程。如果状态转移方程有些部分无法表示出来，就将他加入状态之中。

$-End-$

$2022.8.18$

$\color{red}{DP百道第2题，冲冲冲！}$