洛谷 P1099 【NOIP 2007 提高组】 树网的核

题意简述

给定一棵 $n$ 个结点的带边权无根树和一个正整数 $s$。在这棵树的任意直径上截取一段长度不超过 $s$ 的路径 $F$，使离 $F$ 最远的点到 $F$ 的距离最小，求出这个距离。

思路

记 $\delta (a,b)$ 为 $a,b$ 之间的路径。

对于任意直径上一点 $u$，记 $d^{\prime }(u)$ 为 $u$ 不经过直径上其他点所能到达的最远距离。

如图，不妨设一条直径为 $\delta (a,b)$，其中的一条路径 $F=\delta (x,y)$ 满足 $d(x,y)\le s$。

引理： 对于直径 $\delta (a,b)$ 上任意一点 $u$，总有 $d^{\prime }(u)\le d(a,u),d(b,u)$。

证明：假设 $d^{\prime }(u)>d(a,u)$，不妨设 $u$ 不经过直径上其他点所能到达的最远的点是 $a^{\prime }$（即 $d^{\prime }(u)=d(a^{\prime },u)$），则有 $d(a^{\prime },b)=d(a^{\prime },u)+d(u,b)>d(a,u)+d(u,b)=d(a,b)$，与 $\delta (a,b)$ 是树的直径矛盾。$d^{\prime }(u)\le d(b,u)$ 同理。

由引理及 $\mathrm{ECC}$ 的定义可得出以下性质：

1. $z$ 对 $\mathrm{ECC}(F)$ 的贡献是 $d^{\prime }(z)$。

2. $x$ 对 $\mathrm{ECC}(F)$ 的贡献是 $d(a,x)$，$y$ 对 $\mathrm{ECC}(F)$ 的贡献是 $d(b,y)$​。

由以上二点可得对于 $F=\delta (x,y)$ 有 $\mathrm{ECC}(F)=max\{d(a,x),d(b,y),max\{d^{\prime }(z)\}\}$。

3. $\mathrm{ECC}(F)\le \mathrm{ECC}(\delta (x,z_2)),\mathrm{ECC}(\delta (y,z_1))$。

   证明：由上式得

   $$\{\begin{array}{l}\mathrm{ECC}(F)=max\{d(a,x),d^{\prime }(z_1),\cdots ,d^{\prime }(z_2),d(b,y)\},\\ \mathrm{ECC}(\delta (x,z_2))=max\{d(a,x),d^{\prime }(z_1),\cdots ,d(b,z_2)\},\\ \mathrm{ECC}(\delta (y,z_1))=max\{d(a,z_1),\cdots ,d^{\prime }(z_2),d(b,y)\}.\end{array}$$

   由引理知 $d^{\prime }(z_1)\le d(a,z_1),d^{\prime }(z_2)\le d(b,z_2)$，又易证 $d(a,x)<d(a,z_1),d(b,y)<d(b,z_2)$，代入得证。

综上，由 1、2 我们得知对于 $F=\delta (x,y)$ 如何计算 $\mathrm{ECC}(F)$；由 3 归纳得知仅当 $d(x,y)$ 尽可能接近 $s$ 时最优，满足单调性，这提示我们使用双指针。

使用两遍 DFS 找出一条直径 $\delta (a,b)$。指定 $a$ 为根结点；在第二次 DFS 时记录每个结点的父节点，记为 $fa$；求出每个结点到 $a$ 的距离，记为 $dis$。再使用一遍 DFS 求出直径上每个点的 $d^{\prime }$。在这条直径上使用双指针枚举 $x,y$ 确定 $F$；$d(a,x)$ 和 $d(b,y)$ 可以在尺取的过程中用 $dis$ 递推得出，$max\{d^{\prime }(z)\}$ 可以用单调队列维护，由此求得 $\mathrm{ECC}(F)$。$min\{\mathrm{ECC}(F)\}$ 即为答案。

DFS、双指针、单调队列时间复杂度均为 $O(n)$，故总时间复杂度 $O(n)$。

考虑进一步简化。在尺取的过程中求出所有 $F$ 的 $max\{d(a,x),d(b,y)\}$ 的最小值，记为 $r$；求出所有 $d^{\prime }$ 的最大值，记为 $d^{\prime }(t)$。

设 $F^{\prime }=\delta (x^{\prime },y^{\prime })$ 是答案对应的区间。

• 若 $r\ge d^{\prime }(t)$，则 $\mathrm{ECC}(F^{\prime })=max\{d(a,x^{\prime }),d(b,y^{\prime })\}=r$。

• 若 $r<d^{\prime }(t)$，则一定有 $t$ 在 $F^{\prime }$ 上，即 $x^{\prime }\le t\le y^{\prime }$，此时 $\mathrm{ECC}(F^{\prime })=d^{\prime }(t)$。假设 $t$ 不在 $F^{\prime }$ 上，不妨设 $t<x^{\prime }$，由引理知 $d^{\prime }(t)\le d(a,t)<d(a,x^{\prime })\le \mathrm{ECC}(F^{\prime })$，一定不如 $t$ 在 $F^{\prime }$ 上优。

所以最终答案为 $max\{r,d^{\prime }(t)\}$。

考察存在多条直径的情况。题面已经指出直径的中点重合，可以证明每条直径总有一段路径相交，去除直径“分岔”的部分关于这条路径对称，如果 $F^{\prime }$ 包含了直径分岔的结点 $m$，则 $\mathrm{ECC}(F^{\prime })$ 为 $m$ 到 $F^{\prime }$ 末端的距离，因此选择任何一条直径都不影响结果。具体证明较为繁琐，这里略去。

代码

#include <iostream>
#include <vector>
 
struct Edge // 边
{
    int to, w; // 终点和边权
};
 
int far; // 用于求直径端点
 
int fa[305], dis[305];     // fa 为以 a 为根每个点的父节点, 为了省事 dis 和 d' 都用 dis[] 来存储
bool diameter[305];        // 是否在直径上
std::vector<Edge> mp[305]; // 存树
 
void dfs(int u, int f) // 为了省事, 求直径, dis, d' 全部放进了一个函数里
{
    fa[u] = f;
    if (dis[u] > dis[far])
        far = u; // 求直径的端点
    for (auto i : mp[u])
        if (i.to != f && !diameter[i.to]) // i.to != f 避免死循环, !diameter[i.to] 是 d' 的定义
        {
            dis[i.to] = dis[u] + i.w;
            dfs(i.to, u);
        }
}
 
int main()
{
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);
 
    int n, s, ans = 300000;
    int a, b; // 直径的端点
 
    std::cin >> n >> s;
    for (int i = 1; i < n; i++) // 建图
    {
        int u, v, w;
        std::cin >> u >> v >> w;
        mp[u].push_back({v, w});
        mp[v].push_back({u, w});
    }
 
    // 求直径
    dfs(1, 0);
    a = far;
    dis[a] = 0;
    dfs(a, 0);
    b = far;
 
    for (int x = b, y = b; x >= 1; x = fa[x]) // 双指针
    {
        while (dis[y] - dis[x] > s) // 性质 3, 仅当 d(x, y) 尽可能接近 s 时最优
            y = fa[y];
        ans = std::min(ans, std::max(dis[b] - dis[y], dis[x])); // 求所有 F 的 max{d(a, x), d(b, y)} 的最小值
    }
 
    for (int i = b; i >= 1; i = fa[i]) // 标记直径, 为求 d' 做准备
        diameter[i] = true;
    for (int i = b; i >= 1; i = fa[i]) // 求 d'
    {
        dis[i] = 0;
        dfs(i, fa[i]);
    }
 
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 求 d'(t)
        ans = std::max(ans, dis[i]);
 
    std::cout << ans << "\n";
 
    return 0;
}