树链剖分 树剖求lca 学习笔记

树链剖分

顾名思义，就是把一课时分成若干条链，使得它可以用数据结构（例如线段树）来维护

一些定义：

重儿子：子树最大的儿子

轻儿子：除了重儿子以外的儿子

重边：父节点与重儿子组成的边

轻边：除重边以外的边

重链：重边连接而成的链

轻链：轻边连接而成的链

链头：一条链上深度最小的点

 

第一步：进行进行轻重边的划分。

定义size[x]为以x为根的子树节点个数，令v为u儿子中size值最大的节点，那么(u,v)就是重边，其它出边都是轻边

两个重要性质：

1.轻边(u,v)中，Size[v]<size[u]/2 显然，如果儿子v的size>=size[u]，则它应该是重边，u的子树中没有size比他更大的

2.从根到某一点的路径上，不超过logn条轻边和不超过logn条重路径。这条性质直接保证了树链剖分的复杂度

进行两次dfs，第一次dfs记录下所有的重边，第二次dfs连接重边，形成重链。

具体过程：在每一个节点，先递归重儿子，沿着重边向下拓展，形成一条重链，接着递归其他轻儿子，成为其子树中重链的起点 

定义：

size[]数组:用来保存以x为根的子树节点个数

top[]数组:用来保存当前节点的所在链的顶端节点

son[]数组:用来保存重儿子

dep[]数组:用来保存当前节点的深度

fa[]数组:用来保存当前节点的父亲

dfn[]数组:用来保存树中每个节点剖分后的新编号(按第二遍dfs的访问顺序,先重儿子)

pos[]数组:用来保存当前节点在线段树中的位置

 

第二步 查询lca

我们象倍增求lca一样，每次跳到一条链的链首，然后跳到链首的父节点，重复前面的过程

直到跳到同一条链上，这时，深度较小的节点就是lca

注意前面的两个性质，它们保证的树剖的复杂度只有很小的logn

代码解释：a^b即a!=b

Dp即dep