二元函数的极值与最值问题
写在最前
对于形如z=f(x,y)的函数,求解极值的通法一般有两种:
- 偏导数法
- 二元全微分法
由于偏导数法操作简单,下面仅介绍这种方法
二元函数极值点
Ops:只想知道最值的可以跳过这一节。
我们以驻点为圆心在xy平面上做一个圆(就如同在一元函数y=f(x)驻点附近找一段区间),若当半径足够小时,f(x0,y0)是该圆形区域的最大值或最小值, 那么该驻点就是极大值点或极小值点。与一元函数类似,驻点不一点是极值点。
那么我们如何判断极点呢?
一个比较常规的想法是,让fx在x=x0的两边异号,让fy在y=y0的两边异号,借此来判断函数的极值点。但有一个很明显的错误:
类比地理中的鞍部,这个点被称作鞍点。
那么,该怎么做呢,数学家想到了一种方法——二阶偏导法。
令
A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)
则有
A×C−B2>0且A>0==>极小值
A×C−B2>0且A<0==>极大值
A×C−B2<0==>鞍点
A×C−B2==0==>无法确定
二元函数最值
最值问题和极值问题相比,最大的区别就是最值问题可以通过比较各点的值来计算。我们可以通过求出所有极值点甚至非极值点的值来得出最终的答案。既然如此,我们可以求出所有可能的点(各偏导等于零的点)并计算得到最终答案。
任何一个伟大的思想,都有一个微不足道的开始。
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三年OI一场空,三道神题见祖宗
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竹杖芒鞋轻胜马,谁怕?一蓑烟雨任平生。
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回首向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。
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