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二元函数的极值与最值问题

写在最前

对于形如z=f(x,y)的函数,求解极值的通法一般有两种:

  • 偏导数法
  • 二元全微分法

由于偏导数法操作简单,下面仅介绍这种方法

二元函数极值点

Ops:只想知道最值的可以跳过这一节。

我们以驻点为圆心在xy平面上做一个圆(就如同在一元函数y=f(x)驻点附近找一段区间),若当半径足够小时,f(x0,y0)是该圆形区域的最大值或最小值, 那么该驻点就是极大值点或极小值点。与一元函数类似,驻点不一点是极值点。
那么我们如何判断极点呢?
一个比较常规的想法是,让fxx=x0的两边异号,让fyy=y0的两边异号,借此来判断函数的极值点。但有一个很明显的错误:

类比地理中的鞍部,这个点被称作鞍点

那么,该怎么做呢,数学家想到了一种方法——二阶偏导法

A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0)

则有

A×CB2>0A>0==>

A×CB2>0A<0==>

A×CB2<0==>

A×CB2==0==>

二元函数最值

最值问题和极值问题相比,最大的区别就是最值问题可以通过比较各点的值来计算。我们可以通过求出所有极值点甚至非极值点的值来得出最终的答案。既然如此,我们可以求出所有可能的点(各偏导等于零的点)并计算得到最终答案。

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