斐波那契数列的通项公式及证明

目录

• 简介
• 斐波那契数列的通项公式及证明
  • 通项公式
  • 证明
    • 引入
    • 正题
• 总结

简介

斐波那契数列是指的这样的一个数列，从第3项开始，以后每一项都等于前两项之和。写成递推公式即：

\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3) \]

假设令\(a_1=1,a_2=1\)，则斐波那契数列指的是这样的一串数：\({1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...}\)。接下来，文章提到斐波那契数列特指\(a_1=1,a_2=1\)的这串数。

斐波那契数列的通项公式及证明

通项公式

斐波那契数列的通项公式非常对称：

\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n] \]

可以发现，斐波那契数列都是整数，但斐波那契数列的通项公式确是由无理数拼凑而来的。那么接下来，我们就来看看如何证明（求解）

证明

引入

首先，我们来看看这样的一个题目：

已知\(a_n=k \times a_{n-1}+b(n \le 2)\)，求该数列的通项公式（用含有\(k,b,a_1\)的式子表示）

这不是一道原题，是我将题目中的数字用字母代替得到的。
闲话少说，我们来看看这要怎么做。
首先，我们要回到两种最基本的数列：等差数列和等比数列。
这两个数列的通项公式分别是：

\[a_n=a_1+(n-1) \times d (d为公差) \]

\[a_n=r^{n-1} \times a_1 (r为公比) \]

知道了这两个公式，我们便要懂得转化。
可以看到
\(~~~\)当\(k=0\)时，该数列是一个常数列，通项公式为\(a_n=a_1\)
\(~~~\)当\(k=1\)时，该数列是一个等差数列，通项公式为\(a_n=a_1+b \times (n-1)\)
\(~~~\)当\(k>1\)时，就是我们要讨论的重点。
\(~~~~~~\)首先，我们考虑能不能把他化为等差数列，然而，很显然不行。
\(~~~~~~\)那么，就考虑等比数列，我们把常数项\(b\)裂解，使之构成这样的一个式子：

\[a_n+t=k(a_{n-1}+b-t) \]

\(~~~~~~\)可以通过解方程算出\(t\)的值，于是原式便变成了一个等比数列，运用等比数列的通项公式，然后移项，数列\(\{a_n\}\)的通项公式也就求出来了。

\(Ps.\)这种方法在高中必修五会重点讲到，这种计算数列通项公式的算法就叫裂项构造法，后面的篇幅讲重点讲高中不会涉及的二阶递推式的通项公式的求法。

正题

斐波那契数列的递推公式为

\[a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n \ge 3) \]

同样考虑裂项可设

\[a_n-\lambda a_{n-1}=\mu (a_{n-1}-\lambda a_{n-2}) \]

移项后，使系数相同，得到：

\[\left\{\begin{matrix} \lambda + \mu = 1\\ -\lambda \times \mu =1 \end{matrix}\right.\]

解得

\[\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\text{或}\left\{\begin{matrix} \lambda = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\\ \mu = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\right.\]

将其带回到原式可得到

\[\left\{\begin{matrix} a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-2})\\ a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}(a_{n-1}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-2}) \end{matrix}\right.\]

可以发现\(\{a_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_n\}\)已经构成了一个等比数列，然后根据等比数列通项公式，我们可以得到：

\[\left\{\begin{matrix} a_n-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}a_1)---------1.\\ a_n-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_{n-1}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n-2}(a_2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}a_1)---------2. \end{matrix}\right.\]

然后：

\[2. \times \frac{1-\sqrt{5}}{2}-1.\times \frac{1+\sqrt{5}}{2} \]

化简得

\[a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{\sqrt{5}+1}{2})^n-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^n] \]

得证！！！
完结散花(^o)/~ O(∩_∩)O哈哈~

总结

通过递推公式计算通项公式的思想就是，将数列化为我们能够处理的数列，这种思想在我们平时的学习中也会运用到。
最后，请思考，如果上面求出的\(\lambda\)=\(\mu\)，我们要怎么处理呢？
欢迎在评论区留言。
我会在这一篇博文重点讲解(\(Ps.\)由于我还没有写，写完了我会补上去。)