数论之扩展欧几里德

扩展欧几里德首先要提到的是裴蜀定理：

　　设 gcd(a,b)=c，则对于任意实数 x，y 有 c|ax+by 成立

　　特别的，一定存在 x,y 满足 ax+by=c

　　推论：a,b 互质等价于 ax+by=1 有解。

　　求解 x,y：

　　设 a>b。

　　(1) 当 a mod b =0 时，gcd(a,b)=b。此时 x=0,y=1。

　　　　因为 0*a+1*b=b

　　(2) 当 a mod b!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b)，bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　据欧几里德原理有：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　因为   a mod b=a-(a/b)*b；

　　则有：ax1+by1=bx2+(a-a(a/b)*b)y2

　　根据恒等原理有： x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2;

　　于是我们便有了代码：

#include <cstdio>
using namespace std;
long long a,b,x,y;

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a%b==0)
    {
        x=0;y=1;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,x,y);
    long long t=x;
    x=y;y=t-(a/b)*y;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld%lld",x,y);
    return 0;
}

　　其实，这个代码还有个压缩版本：

#include <cstdio>
using namespace std;
long long a,b,x,y;

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a%b==0)
    {
        x=0;y=1;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);        //注意了， y 在前， x 在后 
    y-=x*(a/b); 
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b,x,y);
    printf("%lld%lld",x,y);
    return 0;
}

扩展欧几里德可以用来解二元一次不定方程

　　例如：不定方程ax+by=d

　　设 c=gcd(a,b);

　　先用扩欧解出 ax+by=c 的解 x0，y0

　　x0=x0*d/c； y0=y0*d/c。

　　x，y的通解为

　　　　　　　　　　　　x=x0+b/c*t;

　　　　　　　　　　　　y=y0+a/c*t;

　　不定方程 ax+by=d 有整数解的条件：

　　　　　　　　　　　　d mod gcd(a,b)==0

　　求解 x 的最小非负整数解：

#include <cstdio>
using namespace std;
long long a,b,c,d,x0,y0,x;

long long gcd(long long x,long long y)
{
    return (x%y==0)?y:gcd(y,x%y);
}

void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    if(a%b==0)
    {
        x=0;y=1;return ;
    }
    exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b); 
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&d);
    c=gcd(a,b);
    if(d%c)
    {
        puts("No solution.");return 0;
    }
    a/=c;b/=c;d/=c;
    exgcd(a,b,x0,y0);
    x=x0%b;
    while(x<0)x+=b;
    printf("%lld",x);
    return 0;
}

　　例题：poj 1061 青蛙的约会