整除分块学习笔记

值域分段求和

假如我们要对这样的式子进行求和：

$$\sum\limits_{i=1}^{n} f(i)$$

如果 $f(i)$ 的取值有限，只有 $m$ 个，且对于所有的 $f(i)=x$ 在序列中都是连续的一段，那么就可以进行值域分段求和。

找出每个取值 $x$ 在原序列中的第一次出现的位置 $L_x$ 和最后一次出现的位置 $R_x$，可以在 $O(m)$ 的时间内算出答案（设 $v_1,v_2\dots v_m$ 为 $f(i)$ 的 $m$ 种取值）：

$$Ans=\sum\limits_{i=1}^{m}(R_i-L_i+1)v_i$$

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例如：

$$\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor{log_2i}\rfloor$$

设 $f(i)=\lfloor{log_2i}\rfloor$，容易发现 $0\le f(i) \le log_2n$ 且单调递增。运用上述方法，可计算出 $L_x=2^x,R_x=2^{x+1}-1$，于是可以在 $O(logn)$ 的时间内求解：

$$Ans=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor{log_2(n)}\rfloor}2^ii$$

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整除分块

整除分块就是 依据整除的性质，对取值种类只有 $\sqrt n$ 级别的 $f$ 序列进行的值域分段求和。

举几个简单的例子：

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$$\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$$

设 $f(i)=\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$，则 $f(i)$ 的取值不超过 $2\sqrt n$ 种且单调递增。运用上述方法，可计算出 $L_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x-1}\rfloor}\rfloor+1,R_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor$，值域分段求和即可，时间复杂度 $O(\sqrt{n})$。

代码片段：

for(int l=1,r=0; l<=n;) {
        l=r+1,r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*(r-l+1);
}

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$$\sum\limits_{i=1}^{n}i^2\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$$

设 $f(i)=\lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor$，仍然有 $L_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x-1}\rfloor}\rfloor+1,R_x=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\rfloor$。考虑对于每一段 $[L_x,R_x]$ 计算答案的贡献：

$\sum\limits_{i=L_x}^{R_x}i^2x$

$=x\sum\limits_{i=L_x}^{R_x}i^2$

$=x(\sum\limits_{i=1}^{R_x}i^2-\sum\limits_{i=1}^{L_x-1}i^2)$

$=x(\frac{R_x(R_x+1)(2R_x+1)}{6}-\frac{L_x(L_x+1)(2L_x+1)}{6})$

然后就可以 $O(\sqrt n)$ 求解了。

代码片段：

for(int l=1,r=0; l<=n;) {
        l=r+1,r=n/(n/l);
        ans+=(n/l)*((r*(r+1)*(r<<1|1)/6-l*(l+1)*(l<<1|1)/6);
}

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习题：

• [CQOI2007]余数求和

• [清华集训2012]模积和