[USACO21FEB] Count the Cows G 题解
题意转化
题目的要求看起来很复杂，但是，如果我们尝试打一个表，输出前面矩阵放置奶牛的情况，我们不难发现，题目的矩阵就是如下矩阵：
1 0 1
0 1 0
1 0 1
对于这个基本矩阵，按照如上的摆放方式生成更大的矩阵，依次类推。
于是题目就转化为，对于这个递归式的矩阵，求出 \((x,y)\) 到 \((x+d,y+d)\) 对角线上 \(1\) 的个数。
注：容易发现，上方图形沿对角线对称，所以我们假设 \(x\leq y\)。
问题转化
看到有 \(y=0\) 的部分分，于是考虑将所有数据转化成 \(y=0\) 的情况。
设 \(f_{i,j,n}\) 表示从 \((0,0)\) 到 \((i,j)\) 对角线上 \(1\) 的个数，其中， \(n\) 是左上角为原点、包含整条对角线的正方形的边长。
那么，\((x,y)\) 到 \((x+d,y+d)\) 对角线上 \(1\) 的个数就可以转化为 \(f_{x+d,y+d,n}-f_{x-1,y-1,n'}\)（前缀和思想）。
于是，现在问题就转化为求 \(f_{i,j,n}\) 的值了。
问题求解
以下图为例：
设现在要求的是 \(f_{x,y,n}\)，如图是边长为 \(n\)、左上角为 \((0,0)\) 的正方形，编号为子矩阵编号。
另外地，为了表示简便，再设 \(g_{i,n}\) 表示从 \((0,i)\) 出发的对角线在左上角为 \((0,0)\)、边长为 \(n\) 的正方形中 \(1\) 的个数。
设 \(z=x-y\)（即线段延长至 \(y=0\) 时的 \(x\) 坐标），\(m=n/3\)（即子矩阵边长）。
在以下情况下，\(f_{x,y,n}\) 分别等于：
-
线段从矩阵 \(1\) 出发（\(z<m\)）
-
到矩阵 \(1\) 结束（\(x<m,y<m\)）：\(f_{x,y,m}\)
-
到矩阵 \(4\) 结束（\(m\leq x<2m,y<m\)）：\(g_{z,m}\)
-
到矩阵 \(5\) 结束（\(m\leq x< 2m,m\leq y<2m\)）：\(f_{x-m,y-m,m}+g_{z,m}\)
-
到矩阵 \(8\) 结束（\(x≥2m,m\leq y< 2m\)）：\(2\times g_{z,m}\)
-
到矩阵 \(9\) 结束（\(x≥2m,y≥2m\)）：\(2\times g_{z,m}+f_{x-2m,y-2m,m}\)
-
-
线段从矩阵 \(4\) 出发 （\(m\leq z<2m\)）
-
到矩阵 \(4\) 结束（\(m\leq x<2m,y<m\)）：\(0\)
-
到矩阵 \(8\) 结束（\(x≥2m,m\leq y<2m\)）
- 未经过矩阵 \(7\)（\(z=m\)）：\(0\)
- 经过矩阵 \(7\)（\(m<z<2m\)）：\(g_{2m-z,m}\)
-
到矩阵 \(7\) 结束 （\(x≥2m,y<m\)）：\(f_{x-2m,y,m}\)
-
-
线段从矩阵 \(7\) 出发（\(z≥2m\)）
- 所有情况都与从矩阵 \(1\) 出发对称，返回 \(f_{x-2m,y,m}\)
(由于 \(y\leq x\)，所以 \(2,3,6\) 号矩阵不可能经过)
边界条件：当 \(n=3\) 时特判答案。
到这里，这道题基本就做完了，唯一的问题就是 \(g\) 的转移。其实，由于对角线一定穿过对应正方形，所以，分别从 \(1,4,7\) 号矩阵出发的对角线，一定会分别在 \(9,8,7\) 号矩阵结束。于是就可以按照 \(f\) 数组转移中的三种情况来转移 \(g\) 数组了。
代码
具体看注释趴
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=41;
inline ll read()
{
register ll x=0;
register char c=getchar();
for(;!(c>='0'&&c<='9');c=getchar());
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())
x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
return x;
}
const int biao[3][3]={{1,0,1},
{0,2,0},
{1,0,3}};
//n=3 时的特判
int q;
ll G(ll z,ll n)//g 的转移
{
register ll m=n/3;
if(n==3)
return biao[2][2-z];
//边界条件（注意，本题都是从 0 计数）
if(z<m)
return 3*G(z,m);
else if(z==m)
return 0;
else if(z<(m<<1))
return G(m*2-z,m);
else
return G(z-m*2,m);
//按照方程分情况转移
}
ll F(ll x,ll y,ll n)
{
if(n==3)
return biao[x][y];
if(y>x)
swap(x,y);
register ll m=n/3,z=x-y;
if(z<m)
{
if(x<m&&y<m)
return F(x,y,m);
if(y<m&&x>=m&&x<2*m)
return G(z,m);
if(x>=m&&x<2*m&&y>=m&&y<2*m)
return G(z,m)+F(x-m,y-m,m);
if(x>=2*m&&y>=m&&y<2*m)
return G(z,m)*2;
if(x>=2*m&&y>=2*m)
return G(z,m)*2+F(x-m*2,y-m*2,m);
}
if(z>=m&&z<2*m)
{
if(x<2*m&&x>=m&&y<m)
return 0;
if(y>=m&&y<2*m&&x>=2*m)
{
if(z==m)
return 0;
if(z>m&&z<2*m)
return G(2*m-z,m);
}
if(x>=2*m&&y<m)
return F(x-2*m,y,m);
}
if(z>=2*m)
return F(x-2*m,y,m);
//按照方程分情况转移
}
ll Work(ll x,ll y)
{
if(x<0||y<0) return 0;
if(y>x) swap(x,y);
register ll sum=1;
while(sum<=x)
sum*=3;//取 n 的值(第一个大于 max{x,y} 的3的整数次幂)
return F(x,y,sum);
}
int main()
{
register ll d,x,y;
q=read();
while(q--)
{
d=read(),x=read(),y=read();
printf("%lld\n",Work(x+d,y+d)-Work(x-1,y-1));
}
return 0;
}
Tipes：为了易懂，本代码会稍有些冗长。大家可以自行优化~
