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汉诺塔（一）

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难度：3

描述

在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

现在请你计算出起始有m个金片的汉诺塔金片全部移动到另外一个针上时需要移动的最少步数是多少？（由于结果太大，现在只要求你算出结果的十进制位最后六位）

输入

第一行是一个整数N表示测试数据的组数(0<N<20)
每组测试数据的第一行是一个整数m,表示起始时金片的个数。(0<m<1000000000)

输出

输出把金片起始针上全部移动到另外一个针上需要移动的最少步数的十进制表示的最后六位。

样例输入

2
1
1000

样例输出

1
69375

题意明确，让计算出起始有m个金片的汉诺塔金片全部移动到另外一个针上时需要移动的最少步数是多少？（由于结果太大，现在只要求算出结果的十进制位最后六位）

     解题思路：大家都很熟悉汉诺塔求移动次数公式为f(n+1)=f(n)*2+1; 由于0<m<1000000000(十亿)，按要求，只需要输出结果的十进制最后六位，即f(n+1)=(f(n)*2+1)%1000000（注意是1后面是6个0）。由于m 取值范围太大，如果按公式计算一定会超时。经过测试多组数据发现，当m>100005时，有如下规律：f(123456)=f(23456); f(123456789)=f(23456789)（老实说，这规律确实不好找），即略去最高位。但还要注意一点，当 m%100000<6 时，则 m=100000+m%10。

第一种：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>


#define MAX 100006


using namespace std;


int f[MAX];
int main()
{
    int n ,i, j, t;
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[1] = 1;
    for(i = 2; i <= MAX; i++)
    {
        f[i] = (2 * f[i-1] +1) % 1000000; //对一百万取余 只要后六位
    }
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        if(n > MAX-1)
        {
            if(n%100000 < 6)
            {
                n = 100000 +  n % 10;
            }
            else
            {
                n %= 100000;
            }
        }
        printf("%d\n", f[n]);
    }
    return 0;
}

第二种：

快速模幂法

#include<iostream>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 
 long long pow_mod(long long n)
 {
     if(n==1) return 2;
     long long t;
     t=pow_mod(n/2);
     if(n%2==0)
     {
         return ((t%1000000)*(t%1000000))%1000000;
     }
     else
     {
         return (2*(t%1000000)*(t%1000000))%1000000;
     }
 }
 
 int main()
 {
     int test;
     long long n;
     cin>>test;
     while(test--)
     {
         cin>>n;
         cout<<pow_mod(n)-1<<endl;
     }
     return 0;
 }

3.优秀代码

 
#include<iostream>
using namespace std;
inline int ModPow(int m,int n,int p) //m的n次方模p
{
    if (n==1) return m%p;
        long long tmp=ModPow(m,n>>1,p);
    return (int)(tmp*tmp%p)*((n%2?m:1)%p)%p;
}
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		cin>>m;
		cout<<(ModPow(2,m,1000000)+999999)%1000000<<endl;
	}
}