线代学习笔记（使用：线性代数 李炯生）（后面水了，开始用川大教材）
多项式
第一章怎么是多项式，不知道为什么，学了但是先不做笔记了。
行列式
（以下称第 \(i\) 位为 \(1\) 其他位为 \(0\) 的向量为 \(\epsilon_i\)）
\(k\) 重线性函数
（我的理解是，对每一位都线性变化的函数）
反对称
\(k\) 个向量中存在相同时函数值为 \(0\) 的函数为“反对称”。
同时“反对称”也同时拥有该性质：将任意两个向量交换位置，则函数值反号。
“规范的”
若 \(f(\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n)=1\) 则称 \(f()\) 为“规范的”。
行列式
\(n\) 重“线性”“反对称”“规范的”函数就是行列式。（其中我们把每行看做一个向量）
至此我们可以得到行列式的一些重要性质：
- 交换任意两行则变号（反对称性）
- 两行成比例则行列式为 \(0\)
- 把某行减去另一行的任意倍，行列式不变（线性性和反对称性）
- 转置前后行列式不变（由后边算法推出）（因此行列式中行与列地位等同，性质相同）
行列式的算法：
-
通过代数余子式递归；
-
各种排列取点乘逆序对数（该证明只需要把所有向量都完全拆掉，再用线性性拉出来变成系数，只留下单位向量在函数中）：
子式和余子式
子式指取出某 \(p\) 行 \(p\) 列的重合项出来排成的新矩阵。
余子式指一个子式子选的那些行列去掉后，得到的新矩阵。
代数余子式指余子式乘上 \((-1)^k\) （其中 \(k\) 代表去掉的行列编号和）
拉普拉斯展开
证明思路可以由“各行取点”来得到。指定 \(p\) 行后，我们首先把这 \(p\) 行换到最上面，然后取遍每种 \(p\) 列（即这 \(p\) 行只取这 \(p\) 列含的值），作为“上部矩阵”的元素，剩下作为下部矩阵元素。那么把这 \(p\) 列移到最左后，因为我们上部只取前 \(p\) 列，下部只取后 \(p\) 列，那么一定不取的地方可以替换为 \(0\) 则变成前一个图的情况，最终得证。
（普通用代数余子式递归到 \((n-1)^2\) 矩阵的计算方法就是拉普拉斯展开 \(p=1\) 时的特例。）
一个小定理
一行的数配对另一行的代数余子式，和为 \(0\) ，证明：这样算等于算另一个矩阵的行列式，这个矩阵形如 把代数余子式去掉的行替换成作为系数的那行，于是两行系数一样，故为 \(0\).
cramer法则
实际上这个方法一般不好用，但是至少了解一下，说不定什么时候可能用上吧。
常用行列式计算方法
- 消成主对角线矩阵。
- 建立递推式，或者说递归到小行列式。
- 用拉普拉斯展开
- 加边，把矩阵扩大，然后通过消元什么的变好算
- 拆行（列），根据线性性，把某一行拆为两个向量的和，把矩阵分成两个好算的。
- 把一个元看成未定元列出多项式（确定次数和根），最后求出最高次系数。
矩阵
- 矩阵的加法是各位相加，和行列式不一样。
- 矩阵的数乘是各位乘这个数，和行列式不一样。
- 矩阵可以把某些矩形部分合并来进行计算，即变成以矩阵为元素的矩阵，各种运算结果和展开时候的完全一样。
（向量左成矩阵时候，其实可以把矩阵每一列看做一个基向量，然后对原本向量做基变换）
矩阵乘法
（矩阵重要就重要在乘法上）。
矩阵乘法满足结合律，但是不满足交换律与消去律。
矩阵转置
转置展开时候，记得内部乘法倒过来 
Binet-Cauchy 定理
（后两个其实等价，第一个是因为一定有空列）
矩阵的逆
- 行列式不为 \(0\) 的方阵都有逆，且为伴随矩阵除行列式（当然求的时候可以用别的方法求，比如列线性方程组然后高消，或者直接右边加一个单位矩阵然后一起消）
- 矩阵的逆唯一
矩阵打洞
小结论
有时候原本难算的 \(AB\) 可以变成好算的 \(BA\) （如直接变成一个数）
矩阵的秩
最少有几个基，秩就多大。同秩且同大小的矩阵相抵。
相抵指两个矩阵通过初等变换可以变成同一个。
各种初等变换都可以表示为矩阵，称作初等矩阵。
矩阵有逆 等同于 矩阵可以表示为若干初等矩阵的积。
秩为 \(r\) 说明至少有一个 \(r\) 阶主子式满秩。
线性方程组
线性齐次方程组的解空间：
更一般地，对于非齐次的：
线性方程有解的情况
挺显然的，因为秩如果不变说明与前面线性相关，有解；否则无解。
前面的定理看起来解决了问题，却没有具体方法，实际操作办法其实还是高消。
矩阵的广义逆
水水水
线性空间
这里“加法”和“乘法”可以指代任意运算。
线性空间的同构
子空间
水水水
直和
商空间
书打错了：\(W\) 是 \(V\) 的子空间。
这些同余类加法和数乘都容易定义。（即取代表元进行，然后得到结果所在的同余类）
\(W\) 的补和 \(V/W\) 同构，可以构造双射证明。
象与核
映射为 \(0\) 的是核。
\(\text{Im}()\) 和 \(\text{Ker}()\) 分别是 \(\text{V}\) 和 \(\text{U}\) 的子空间。
线性变换
\(B\) 变换其实可以直接看成把：基，通过 \(\text{P}\) 变到另一种 基下，然后再进行 \(A\) 变换，最后再通过 \(\text{P}^{-1}\) 变回到原本的基下。
不变子空间
特征向量特征值
