旧时 科大部分物理笔记

（怎么不见了这么多，后期纸制笔记未录入）

• 有心力的角速度上的惯性离心势能势能（\(l\) 为角动量）：\(E_p=-\dfrac{1}{2}mw^2r^2=\dfrac{l^2}{2mr^2}\)(由 \(l=mrv_\theta\)和动能分量 \(\dfrac{1}{2}mv_\theta^2\) 得)

• 有效势能（总势能）对位置求导为0的是平衡点，其中二阶导大于 \(0\) 的是稳定平衡点,求出等于 \(0\) 就继续求导。

• 两体问题一般换成其中一个物体的系，然后约化质量换掉惯性质量。

• 换系记得修正速度什么的。

• 一些需要知道的积分或求导或微分方程通解：

\[(\arcsin x)'=\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}} \]

\[(\arccos x)'=-\dfrac 1{\sqrt{1-x^2}} \]

\[(\arctan x)'=\dfrac 1{1-x^2} \]

\[(\text{arccot}\ x)'=-\dfrac 1{1-x^2} \]

\[m \ddot{\vec x}+\omega^2x=0 \Leftrightarrow x=A\cos \omega t+\varphi \]

\[\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2,\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2 \]

\[\int\cosh x=\dfrac{d\cosh x}{dx}=\sinh x \]

\[\int\sinh x=\dfrac{d\sinh x}{dx}=\cosh x \]

力学

• 技巧

  • 想避开一点作受力分析，可以把该点瞬心看力矩和角动量。
  • 流体问题转化为柱形体分析。
  • 有几个物体隔离或整体分析几次

• 虚功原理，用来求各种平衡状态下抽象内力。

• 非惯性系可以加非惯性力（一般）也可以约化质量（两体问题，只有 \(AB\) 相互作用力，和外力为 \(0\)）。

• 两体运动常用约化质量或质心系。

• 动量定理题：

  • 连续体
    1. 微元法
    2. 整体法（把整体的冲量表示出来）
  • 冲击过程
  • 冲量 \(+\) 速度关联
  • 变质量问题（\(dm\) 正负代表增减，\(\vec u\) 常为 \(0\) 或 \(\vec v\)）

    • 增质

      通过动量定理推，经典力学下结论为 \(\vec F=m\dfrac{d\vec v}{dt}+\vec u\dfrac{dm}{dt}\)（\(\vec u\) 为两部分的相对速度，\(\vec F\) 为系统整体受力，类似直接求导（\(\vec u=\vec v\) 时候就是），后项才为推力，要区分）,狭义相对论要推一遍。

    • 减质

      通过动量定理推，经典力学下结论为 \(\vec F=m\dfrac{d\vec v}{dt}+\vec u\dfrac{dm}{dt}\)（与增质相同）,狭义相对论要推一遍。

• 根据质心的动能分解（柯尼希定理）：

  • \(E=\dfrac 1 2 (m+M)v_C^2+\dfrac 1 2\dfrac{mM}{m+M}(v_1-v_2)^2\)
  • 其中 \(\dfrac{mM}{m+M}\) 就是约化质量 \(\mu\)，可以在两体问题的时候可以把惯性质量换掉。
  • \(\dfrac 1 2\dfrac{mM}{m+M}(v_1-v_2)^2\) 叫资用能。
  • 常用在碰撞问题中。
  • 摩擦加碰撞，求碰撞几次之类。

• 垂直向冲量 \(\times\ \mu\ge\) 摩擦力冲量，\(\mu\) 范围就是 \(\ge\) 摩擦力冲量 \(/\) 垂直向冲量。

• 脱离的情况，就是没有支持力，或者力的作用结果如动量达到最大值。

角动量与天体运动

• 多为列一个动能守恒一个角动量守恒。

1. 开普勒第三定律（对同一中心天体，周期方除半长轴三方为定值）

\[\dfrac{T^2}{A^3}=\dfrac{4\pi^2}{GM} \]

2. 变轨问题（使用的公式）
   • 向心力公式
   • 机械能守恒
   • 角动量守恒
3. 椭圆端点的曲率半径

\[\rho_A=\dfrac{b^2}{a},\rho_B=\dfrac{a^2}{b} \]

4. 两体问题转天体运动（换系）的修正，引力势能 \(E_p\) 不修正，\(E_k,\vec L,\vec a\)这类与速度相关的要修正，将里面的 \(m\) 换成 \(\mu\),\(v\) 等都变成相对的量，如开普勒第三定律修正为：

\[\dfrac{T^2}{A^3}=\dfrac{4\pi^2}{G(M+m)} \]

5. 有心力的有效势能求导等于 \(0\) 时，惯性离心力和有心力平衡，有效势能相当于惯性离心力加有心力再积分。
6. 天体运动中，知道轨道能量就可以求出任意点的速度（包含了角动量和机械能守恒）。
   • 轨道能量为（椭圆为负，双曲线为正，抛物线为 \(0\)）：
   \[\pm\dfrac{GMm}{2a} \]
   • 轨道能量 \(<0\) 为椭圆。
   • \(=0\) 为抛物线
   • \(>0\) 为双曲线
   • 特别地，取最小值时候为圆。
7. 求力学量（\(\vec a,\vec F\) 等）时候用极坐标，没有就用角动量和机械能守恒。

• 常用转动惯量：
  1. 棍（端点轴）：
  \[\dfrac 1 3 ML^2 \]
  2. 棍（中心轴）：
  \[\dfrac 1 {12}ML^2 \]
  3. 圆环
  \[MR^2 \]
  4. 圆盘
  \[\dfrac 1 2MR^2 \]
  5. 球壳
  \[\dfrac 2 3MR^2 \]
  6. 球体
  \[\dfrac 2 5MR^2 \]

光学模型

• 杨氏双缝（通过距离计算光程差，两缝间距极小，小量近似需考虑）
• 薄膜
• 劈尖模型（两束反射光相互干涉，光程差为 \(2\ \times\) 下面空气长度）
• 牛顿环(原理和劈尖基本相同）

振动模型

• 求振动一般思路：
  1. 牛二表示力和位移关系
  2. 列出能量方程，然后对 \(t\) 求导，得到位移和力的关系。
• 单摆
• 复摆
• 两体问题和约化质量
• 标准微分方程和他的解：

\[\ddot{\vec x}+\omega^2\vec x=0 \]

\[\Leftrightarrow \vec x=A\cos \omega t+\varphi \]

热学

• 一般用三个方程：热力学第一定律，状态方程，过程方程。（做不出来可以想想有没有少用了哪个）
• 要注意过程什么变什么不变。
• 理想气体方程 \(pV=nRT\)
• \(\Delta E=W+Q\)
• 热容 \(C=\dfrac{dQ}{dT}\)
• \(C_v=\dfrac{dE}{dT},C_p=\dfrac{dH}{dT}\)
• \(C_p=C_v+R\)
• 单原子气体中 \(C_v=\dfrac 3 2R\)，双原子气体中 \(C_v=\dfrac 5 2R\)
• \(\gamma=\dfrac{C_p}{C_v}\)，其中 \(\gamma\) 为绝热方程的 \(pV^\gamma=C\)
• 计算放热一般写成 \(\Delta Q=\Delta E-\Delta W=C_p\Delta T=C_v\Delta T+p\Delta V\)
• 理想气体内能仅与温度有关，用热容与温度表示。
• 焓 \(H=H(T)=E+pV\)，对于焓的理解
• 饱和蒸汽压仅和 \(T\) 有关。
• 相变过程 \(T\) 不变，如果是饱和蒸汽，\(p\) 也不变。
• 热辐射，能流密度：\(I(T)=\sigma T^4\)
• 维恩位移公式（估算温度）：\(T=\dfrac{b}{\lambda_m}\)
• 摄氏度和开尔文换算 \(x\degree \text C=x+273.15\text K\)

热学模型

• 求任意过程热容
• 求任意过程中温度极值点：可以直接求 \(pV\)极值，或联立方程求\(dT\)切点。
• 求任意过程吸热放热转折点：可以联立过程方程和绝热方程求切点，或联立方程得 \(dQ=f(v)dV\) ,取 \(f(v)=0\)。
• 卡诺定理推导
• 相变过程，如果是饱和蒸汽压，则：\(Q\)=\(\Delta H=C_p\Delta T\)
• 地球太阳大气热辐射

几何光学

• 视深公式（小角，折射定律小量近似）：\(\dfrac{d'}{d}=\dfrac{n_1}{n_2}\)
• 双镜面反射
• 切线和全反射是两个临界。
• 变折射率问题。
• 费马原理：光走路径是光程平稳路径。物像间等光程。
• 公式中的量在从左射入凸透镜在右方成像时候都取正，每项在不同的时候各自取负，反射时候折射率 \(n'\) 取负。
• 球面镜成像：
  \[\dfrac n S+\dfrac{n'}{S'}=\dfrac{n'-n}r \]

• 光焦度：
  \[\Phi=\dfrac{n'-n}r \]

• 高斯公式(任意镜成像成立，\(f\) 为物方焦距为 \(\dfrac{n}{\Phi}\)，\(f'\) 同理):
  \[\dfrac f S+\dfrac{f'}{S'}=1 \]

• 横向放大率，（正正，负倒）：
  \[V=-\dfrac{nS'}{n'S} \]

• 薄透镜成像（其中光焦度 \(\Phi\) 为两边球面镜光焦度的和，推导是两个球面镜成像式子相加，忽略中间距离）
  \[\dfrac n S+\dfrac{n'}{S'}=\Phi \]

• 密接透镜焦距（类似电阻并联）：
  \[\dfrac 1 f=\dfrac 1 {f_1}+\dfrac 1 {f_2} \]

电学

• 基尔霍夫方程，几个空列几个方程。
• 叠加原理：可以把每个电动势分开看。
• 复杂电路
  1. 流叠加法/假想电流法
     • 用于无穷对称网络
     • 用于立方体
     • 加电流
  2. 对称/等势法
     • 核心是电桥平衡，断边拆点，还有翻折。
     • 根据对称性得到东西相等。
     • 加电压
  3. 递推法
     • 无穷且有向。
  4. \(Y-\Delta\) 变换。
  5. 自相似
• 电阻和电容可以等效成值为倒数的对方，然后计算。
• 对称电路相当于两半并联。
• 电桥模型化简电路，边或点都可断开，点因为等势，一般都可拆。
• \(n\) 个点，用任意个为 \(r\) 的电阻连通，所有相邻点对间的电阻和为 \((n-1)r\)。
• 能流密度求静电场能量:体积分 \(\dfrac 1 2 DE\)，真空中为:体积分 \(\dfrac 1 2 \varepsilon_0 E^2\)。
• 路端电压等于电动势减内部电压。
• 求非电路的电流，可以通过两端电压或电动势和电容。

磁

• 只考求磁感应大小或电荷运动。
• 磁感应大小
  • 毕奥-萨伐尔定律（积分）（叠加原理）
    • 圆环
    • 有限长直导线
  • 安倍环路定理（无限长直导线）
• 电场磁场，两个不好分开看，可以用配速法把电场分开。
• 感应电动势和带点粒子运动。
• 求感应电动势转化为电路等。
• 求自感/互感系数，和求电容一样，设 \(I\) 然后直接算。
• \(A\) 对 \(B\) 的互感系数和 \(B\) 对 \(A\) 的一样。
• 能流密度求磁场能量真空中为:体积分 \(\dfrac {B^2}{ 2 \mu_0}\)。
• 一个自感系统的磁能为 \(\frac 1 2 LI^2\)
• 超导体磁通守恒。

相对论

• 狭义相对论两大原理：

  1. 相对性原理
  2. 光速不变原理

• 坐标变换，速度变换，洛伦兹变换记住，\(X\) 是和普通的乘个系数，\(t\) 可以用 \(X\) 代入推

• 动量 \(p-\) 能量 \(E\) 的变换和 \(x-t\) 差不多，相当于用 \(E\) 换掉 \(x\),用 \(p\) 换掉 \(t\)。

• 能量守恒推出动质量守恒。

• 多用小量近似

• 物体静止能量状态变化则静质量变化

• 光子可以有动量 \(\dfrac{E}{c}\)

• 光子的动量或动能可以和物体静质量变化联系。

• 模型：多普勒效应。