旧时 科大部分物理笔记

（怎么不见了这么多，后期纸制笔记未录入）

• 有心力的角速度上的惯性离心势能势能（$l$ 为角动量）：$E_p=-{\displaystyle \frac{1}{2}}m{w}^2{r}^2={\displaystyle \frac{l^2}{2m{r}^2}}$(由 $l=mr{v}_{\theta }$和动能分量 ${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\theta }^2$ 得)

• 有效势能（总势能）对位置求导为0的是平衡点，其中二阶导大于 $0$ 的是稳定平衡点,求出等于 $0$ 就继续求导。

• 两体问题一般换成其中一个物体的系，然后约化质量换掉惯性质量。

• 换系记得修正速度什么的。

• 一些需要知道的积分或求导或微分方程通解：

$$(\arcsin x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$

$$(\arccos x{)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$

$$(\arctan x{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$$

$$(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-{\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$$

$$m\ddot{\overrightarrow{x}}+{\omega }^{2}x=0\iff x=A\cos \omega t+\phi$$

$$\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}},\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}$$

$$\int \cosh x={\displaystyle \frac{d\cosh x}{dx}}=\sinh x$$

$$\int \sinh x={\displaystyle \frac{d\sinh x}{dx}}=\cosh x$$

力学#

• 技巧

  • 想避开一点作受力分析，可以把该点瞬心看力矩和角动量。
  • 流体问题转化为柱形体分析。
  • 有几个物体隔离或整体分析几次

• 虚功原理，用来求各种平衡状态下抽象内力。

• 非惯性系可以加非惯性力（一般）也可以约化质量（两体问题，只有 $AB$ 相互作用力，和外力为 $0$）。

• 两体运动常用约化质量或质心系。

• 动量定理题：

  • 连续体
    1. 微元法
    2. 整体法（把整体的冲量表示出来）
  • 冲击过程
  • 冲量 $+$ 速度关联
  • 变质量问题（$dm$ 正负代表增减，$\overrightarrow{u}$ 常为 $0$ 或 $\overrightarrow{v}$）

    • 增质

      通过动量定理推，经典力学下结论为 $\overrightarrow{F}=m{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}+\overrightarrow{u}{\displaystyle \frac{dm}{dt}}$（$\overrightarrow{u}$ 为两部分的相对速度，$\overrightarrow{F}$ 为系统整体受力，类似直接求导（$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$ 时候就是），后项才为推力，要区分）,狭义相对论要推一遍。

    • 减质

      通过动量定理推，经典力学下结论为 $\overrightarrow{F}=m{\displaystyle \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}}+\overrightarrow{u}{\displaystyle \frac{dm}{dt}}$（与增质相同）,狭义相对论要推一遍。

• 根据质心的动能分解（柯尼希定理）：

  • $E={\displaystyle \frac{1}{2}}(m+M)v_C^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{mM}{m+M}}(v_1-v_2{)}^2$
  • 其中 ${\displaystyle \frac{mM}{m+M}}$ 就是约化质量 $\mu$，可以在两体问题的时候可以把惯性质量换掉。
  • ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{mM}{m+M}}(v_1-v_2{)}^2$ 叫资用能。
  • 常用在碰撞问题中。
  • 摩擦加碰撞，求碰撞几次之类。

• 垂直向冲量 $\times \mu \ge$ 摩擦力冲量，$\mu$ 范围就是 $\ge$ 摩擦力冲量 $/$ 垂直向冲量。

• 脱离的情况，就是没有支持力，或者力的作用结果如动量达到最大值。

角动量与天体运动#

• 多为列一个动能守恒一个角动量守恒。

1. 开普勒第三定律（对同一中心天体，周期方除半长轴三方为定值）

$${\displaystyle \frac{T^2}{A^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{GM}}$$

2. 变轨问题（使用的公式）
   • 向心力公式
   • 机械能守恒
   • 角动量守恒
3. 椭圆端点的曲率半径

$${\rho }_A={\displaystyle \frac{b^2}{a}},{\rho }_B={\displaystyle \frac{a^2}{b}}$$

4. 两体问题转天体运动（换系）的修正，引力势能 $E_p$ 不修正，$E_k,\overrightarrow{L},\overrightarrow{a}$这类与速度相关的要修正，将里面的 $m$ 换成 $\mu$,$v$ 等都变成相对的量，如开普勒第三定律修正为：

$${\displaystyle \frac{T^2}{A^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G(M+m)}}$$

5. 有心力的有效势能求导等于 $0$ 时，惯性离心力和有心力平衡，有效势能相当于惯性离心力加有心力再积分。
6. 天体运动中，知道轨道能量就可以求出任意点的速度（包含了角动量和机械能守恒）。
   • 轨道能量为（椭圆为负，双曲线为正，抛物线为 $0$）：
   $$\pm {\displaystyle \frac{GMm}{2a}}$$
   • 轨道能量 $<0$ 为椭圆。
   • $=0$ 为抛物线
   • $>0$ 为双曲线
   • 特别地，取最小值时候为圆。
7. 求力学量（$\overrightarrow{a},\overrightarrow{F}$ 等）时候用极坐标，没有就用角动量和机械能守恒。

• 常用转动惯量：
  1. 棍（端点轴）：
  $${\displaystyle \frac{1}{3}}M{L}^2$$
  2. 棍（中心轴）：
  $${\displaystyle \frac{1}{12}}M{L}^2$$
  3. 圆环
  $$M{R}^2$$
  4. 圆盘
  $${\displaystyle \frac{1}{2}}M{R}^2$$
  5. 球壳
  $${\displaystyle \frac{2}{3}}M{R}^2$$
  6. 球体
  $${\displaystyle \frac{2}{5}}M{R}^2$$

光学模型#

• 杨氏双缝（通过距离计算光程差，两缝间距极小，小量近似需考虑）
• 薄膜
• 劈尖模型（两束反射光相互干涉，光程差为 $2\times$ 下面空气长度）
• 牛顿环(原理和劈尖基本相同）

振动模型#

• 求振动一般思路：
  1. 牛二表示力和位移关系
  2. 列出能量方程，然后对 $t$ 求导，得到位移和力的关系。
• 单摆
• 复摆
• 两体问题和约化质量
• 标准微分方程和他的解：

$$\ddot{\overrightarrow{x}}+{\omega }^2\overrightarrow{x}=0$$

$$\iff \overrightarrow{x}=A\cos \omega t+\phi$$

热学#

• 一般用三个方程：热力学第一定律，状态方程，过程方程。（做不出来可以想想有没有少用了哪个）
• 要注意过程什么变什么不变。
• 理想气体方程 $pV=nRT$
• $\mathrm{\Delta }E=W+Q$
• 热容 $C={\displaystyle \frac{dQ}{dT}}$
• $C_v={\displaystyle \frac{dE}{dT}},C_p={\displaystyle \frac{dH}{dT}}$
• $C_p=C_v+R$
• 单原子气体中 $C_v={\displaystyle \frac{3}{2}}R$，双原子气体中 $C_v={\displaystyle \frac{5}{2}}R$
• $\gamma ={\displaystyle \frac{C_p}{C_v}}$，其中 $\gamma$ 为绝热方程的 $p{V}^{\gamma }=C$
• 计算放热一般写成 $\mathrm{\Delta }Q=\mathrm{\Delta }E-\mathrm{\Delta }W=C_p\mathrm{\Delta }T=C_v\mathrm{\Delta }T+p\mathrm{\Delta }V$
• 理想气体内能仅与温度有关，用热容与温度表示。
• 焓 $H=H(T)=E+pV$，对于焓的理解
• 饱和蒸汽压仅和 $T$ 有关。
• 相变过程 $T$ 不变，如果是饱和蒸汽，$p$ 也不变。
• 热辐射，能流密度：$I(T)=\sigma T^4$
• 维恩位移公式（估算温度）：$T={\displaystyle \frac{b}{{\lambda }_m}}$
• 摄氏度和开尔文换算 $x\text{degree}\text{C}=x+273.15\text{K}$

热学模型#

• 求任意过程热容
• 求任意过程中温度极值点：可以直接求 $pV$极值，或联立方程求$dT$切点。
• 求任意过程吸热放热转折点：可以联立过程方程和绝热方程求切点，或联立方程得 $dQ=f(v)dV$ ,取 $f(v)=0$。
• 卡诺定理推导
• 相变过程，如果是饱和蒸汽压，则：$Q$=$\mathrm{\Delta }H=C_p\mathrm{\Delta }T$
• 地球太阳大气热辐射

几何光学#

• 视深公式（小角，折射定律小量近似）：${\displaystyle \frac{d^{\prime }}{d}}={\displaystyle \frac{n_1}{n_2}}$
• 双镜面反射
• 切线和全反射是两个临界。
• 变折射率问题。
• 费马原理：光走路径是光程平稳路径。物像间等光程。
• 公式中的量在从左射入凸透镜在右方成像时候都取正，每项在不同的时候各自取负，反射时候折射率 $n^{\prime }$ 取负。
• 球面镜成像：
  $${\displaystyle \frac{n}{S}}+{\displaystyle \frac{n^{\prime }}{S^{\prime }}}={\displaystyle \frac{n^{\prime }-n}{r}}$$

• 光焦度：
  $$\mathrm{\Phi }={\displaystyle \frac{n^{\prime }-n}{r}}$$

• 高斯公式(任意镜成像成立，$f$ 为物方焦距为 ${\displaystyle \frac{n}{\mathrm{\Phi }}}$，$f^{\prime }$ 同理):
  $${\displaystyle \frac{f}{S}}+{\displaystyle \frac{f^{\prime }}{S^{\prime }}}=1$$

• 横向放大率，（正正，负倒）：
  $$V=-{\displaystyle \frac{n{S}^{\prime }}{n^{\prime }S}}$$

• 薄透镜成像（其中光焦度 $\mathrm{\Phi }$ 为两边球面镜光焦度的和，推导是两个球面镜成像式子相加，忽略中间距离）
  $${\displaystyle \frac{n}{S}}+{\displaystyle \frac{n^{\prime }}{S^{\prime }}}=\mathrm{\Phi }$$

• 密接透镜焦距（类似电阻并联）：
  $${\displaystyle \frac{1}{f}}={\displaystyle \frac{1}{f_1}}+{\displaystyle \frac{1}{f_2}}$$

电学#

• 基尔霍夫方程，几个空列几个方程。
• 叠加原理：可以把每个电动势分开看。
• 复杂电路
  1. 流叠加法/假想电流法
     • 用于无穷对称网络
     • 用于立方体
     • 加电流
  2. 对称/等势法
     • 核心是电桥平衡，断边拆点，还有翻折。
     • 根据对称性得到东西相等。
     • 加电压
  3. 递推法
     • 无穷且有向。
  4. $Y-\mathrm{\Delta }$ 变换。
  5. 自相似
• 电阻和电容可以等效成值为倒数的对方，然后计算。
• 对称电路相当于两半并联。
• 电桥模型化简电路，边或点都可断开，点因为等势，一般都可拆。
• $n$ 个点，用任意个为 $r$ 的电阻连通，所有相邻点对间的电阻和为 $(n-1)r$。
• 能流密度求静电场能量:体积分 ${\displaystyle \frac{1}{2}}DE$，真空中为:体积分 ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\epsilon }_0{E}^2$。
• 路端电压等于电动势减内部电压。
• 求非电路的电流，可以通过两端电压或电动势和电容。

磁#

• 只考求磁感应大小或电荷运动。
• 磁感应大小
  • 毕奥-萨伐尔定律（积分）（叠加原理）
    • 圆环
    • 有限长直导线
  • 安倍环路定理（无限长直导线）
• 电场磁场，两个不好分开看，可以用配速法把电场分开。
• 感应电动势和带点粒子运动。
• 求感应电动势转化为电路等。
• 求自感/互感系数，和求电容一样，设 $I$ 然后直接算。
• $A$ 对 $B$ 的互感系数和 $B$ 对 $A$ 的一样。
• 能流密度求磁场能量真空中为:体积分 ${\displaystyle \frac{B^2}{2{\mu }_0}}$。
• 一个自感系统的磁能为 $\frac{1}{2}L{I}^2$
• 超导体磁通守恒。

相对论#

• 狭义相对论两大原理：

  1. 相对性原理
  2. 光速不变原理

• 坐标变换，速度变换，洛伦兹变换记住，$X$ 是和普通的乘个系数，$t$ 可以用 $X$ 代入推

• 动量 $p-$ 能量 $E$ 的变换和 $x-t$ 差不多，相当于用 $E$ 换掉 $x$,用 $p$ 换掉 $t$。

• 能量守恒推出动质量守恒。

• 多用小量近似

• 物体静止能量状态变化则静质量变化

• 光子可以有动量 ${\displaystyle \frac{E}{c}}$

• 光子的动量或动能可以和物体静质量变化联系。

• 模型：多普勒效应。