旧时 科大数学学习部分笔记
科大喜欢的变形！！！
\[(a-1)(b-1)=ab-a-b+1
\]
\[(a-b)(a-c)=a^2+bc-ab-ac
\]
\[x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
\]
\[x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
\]
\[x^n-y^n=(x-y)(\cdots)
\]
\[x^n+y^n=(x+y)(\cdots)\ \ \ \ (n=2k+1,k\in N_+)
\]
两个式子有高次，减减看。
根号，丑，怎么办？
- 换元
类似 \(\sqrt{1+2x}\) 可以换成 \(t\) 用。 - 两边平方，一般在根号小于等于两个时候用，但是函数一般不用。
- 三角换元，看形式是否符合三角公式，根号里面是二次函数，基本就可以变成一个东西平方加常数，然后换元。
- 不等式，不等关系。
- 几何意义。
函数
- 对高次方程要有敬畏之心。
- 观察特解。
- 联想，抓住暗示。
- 二次函数说了根情况先看 \(\Delta\) ，算出参数范围，不然就错了。
- 二次函数多配方而不是代公式，好看又好分析。
- 含参，求参数范围，分离变量。
- 配方，优先级: 三角/指数 \(>\) 高次 \(>\) 低次。
- 系数像完全平方的，即使有点抽象，也可以考虑配方。
三角函数
策略
- 能猜答案的猜完答案就跑。
- 考答案可以在不等式中配参数使得符合取等条件。
- 熟悉每个角的补角，多换成补角的对应函数试试。
- 大角为 \(\sin\) 时，二倍角间的倍数关系可以之间表达。
- \(\lg,\sqrt{\ \ }\) 内加减可以看成整体。
- 题目有 \(\tan\) 且用 \(\sin \cos\) 不好算的时候，可以全部变成 \(\tan\) 做。
- 两个三角形拼成三角形的模型，有两种用法
- 用拼接处两个补角，和余弦定理。（给 边边比为定值）
- 用面积和为大三角形面积（通常是用分割角的 \(\sin\) 和该角的边表示面积），和正弦定理。（给 边边比等于边边比）
- 比例关系可以有两种想法
- 如果比值在答案无用就消掉
- 如果答案有比值则用另一个比值导这个比值。
积化和差口诀(积外除，和内除外乘，项数不变)：
- 正余余正，正加正减
- 余余正正，余加负余减
和差话积口诀(积外除，和内除外乘，项数不变)：
- 正加正，正在前
- 正减正，余在前
- 余加余，余并肩
- 余减余，负正弦
三倍角公式：
- 山无司令，司令无山
- 四乘 六十加减和原来自己。
三角形内重要恒等式
- \(\sum \tan =\prod \tan\) 或者(\(\sum \cot A\times \cot B=1\))
- \(\sum \tan \frac{A}{2}\times \tan \frac{B}{2}=1\)
- \(\sum \cos =1+4\prod \sin \frac{A}{2}\)
- \(\sum \sin 2A =4\prod \sin A\)
- \(\sum \sin =4\prod \cos \frac{A}{2}\)
- \(\sum \cos^2 A + 2\cos A\cos B\cos C=1\)
- \(\sin \frac{A+B}{2}=\cos\frac{C}{2}\)
- \(\cos \frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}\)
- \(\sum \sin^2 =2+2\prod \cos A\)
- \(\sum \cos^2 =1-2\prod \cos A\)
变量的选择
- 函数： \(\sin,\cos\)，\(tan\) 全换成 \(\dfrac{\sin}{\cos}\)(特例，全用 \(\tan\) 然后换元，变成普通函数)
- 角度：看和角差角有没有特殊角。
- 一些特殊角
- \(\sin 15\)°=\(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
- \(\sin 75\)°=\(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
- \(\sin 18\)°=\(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\)
- \(\sin 36\)°=\(\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\)
- \(\sin 54\)°=\(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\)
- \(\sin 22.5\)°=\(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)
歪门邪道
在 \(\triangle ABC\) 中
我们把 \(A,B,C,\sin A,\tan A\) 当一次。
我们把 \(\cos A,\cos B,\cos C\) 当零次。
然后把他们齐次化，不齐次可以用上面的恒等式。
如果无法齐次可以考虑如把 \(A\) 变成 \(B+C\) 来升次。
升幂缩角，降幂扩角
- \(\cos^2 \alpha=\dfrac{1+\cos 2\alpha}{2}\)
- \(\sin^2 \alpha=\dfrac{1-\cos 2\alpha}{2}\)
一些恒等式
\(cos(x+2\pi/3)+cos(x+4\pi/3)+cos(x)=0\)(每次绕 \(\dfrac{1}{3}\) 圈，和为 \(0\))
复数
- \(\cos \theta=(z+\dfrac{1}{z})/2\)(扔复平面上直接可以看出来)。
- \(\sin \theta=(z-\dfrac{1}{z})/2i\)(扔复平面上直接可以看出来)。
一些不等式
- \(a+b+c\ge \sqrt{3(ab+bc+cd)}\)
杂项
- 非等差等比数列求和必裂项。
- 求东西极值时候，可以考虑如果他过大会发生什么，然后假装他确定了，求其他东西范围。
- 求东西极值时候，如果里面有多项并且比较独立，可以一个一个处理。
- 未知数少方程多，可能是“卡住”的情况，比如：元旦三角函数第 \(15\) 题，\(x^2+1\le 2\)，\(|x|\le0\) 这样。
- 回文多项式，除变量的几次方，变成正负次数对应系数对称的多项式。
- 双变量问题如果齐次，可以同除一个变量的对应次数，变成单变量问题。
- 立体图形同顶点角度和，考虑展开成平面图形。
- 代数问题，降次，消元。
- 三角函数：角度关系明确用，函数值明确不用。
因式分解
- \(a^3+b^3+c^3-3abc=(\sum a)(\sum a^2-\sum ab)\)
- 立方和公式
数论
- 消元用取模。
- 一直换不同数取模，得到信息。
- 完全平方数，模三余零或一，模四也是。（判断时候多用）
- 阶乘中 \(p\) 的幂次，\(\sum \dfrac{n}{p^i}\) 下取整。
- 有 \(p^t\) 常对 \(p,p-1,p+1\) 取模试试。（因为会有 \(0^t,+1^t,(-1)^t\)）
- 用幂次不同对变量大小进行控制。
- 高斯函数，用 \(x-1 < [x] < x\) 得到范围，然后得到 \(x\) 可取范围，然后做题。
- 一个东西是完全平方数，可以夹一下。
- 谁整除谁，重要的是右边可以减任意个左边。
- 等式两边有平方可以考虑平方差。
解析几何
- 椭圆可以换元成两个三角函数的平方和，毕竟右边为 \(1\)，这样之后把 \(x,y\) 单独拿出来的时候就可以更好操作。
- 有切点切线尽量从切点切线出发。
- 多用几何性质：性质多从焦点间或焦点与准线选一种
- 叉积求面积
- 过原点做中位线
- 条件交汇的地方容易出结论。
- 有切线，可以考虑做焦点对称轴
- 切线有角平分线。
- 特别关注角度或者长度其中一者时候，可以用参数方程：\(x=x_0+t\cos \theta\)，\(y=y_0+t\sin \theta\)
- 椭圆可以设点 \((a\cos\theta,b\sin\theta)\)
- 题目给的参数方程，我们取 \(x,y\) 消去参数得到点，看该点与图像的关系。
- 和一个圆锥曲线交于四点的圆锥曲线系，可以简单得到。
不等式
-
思考方式:
- 变形
- 条件能不能直接换成什么东西
- 变形，换元，消元，整理（比如乘法放一边加法放一边）
- 变形：
- 有没有 \(ab\) 可以加减 \((\sum a)^2\) 类的来消掉。
- 立方和，立方差，平方差等可以因式分解.（从而加中生乘法）
- 看不出来的时候，通分，暴力展开都是必要尝试的。
- 变形：
- 整体
- 根号和（可变大）、根号内有和（可变小） 都试试用柯西
- 柯西，均值能不能上一下看看
- 加法小于号，加上去根号就想柯西。
- 局部
- 同整体。
- 变形
-
1.先变形、换元，2.整体做，3.局部做。
-
高次的和差，分解因式后，整个可以用均值，或者后半部分也可单独放缩。
-
变量给范围为 \(x\in[a,b]\)，则可以变成 \((x-a)(x-b)\le 0\) 或者 \(x^2+ab\le(a+b)x\)，可以用来放缩、降次等。
-
柯西：1.让加小于东西，2.分离变大，混合变小（去分母），3.去根号。
-
柯西求反：年前第13题。
-
单变量式求和，完全对称，可以用切线法或割线法，不一定在相同地方取等。思想就是把函数换成另一个函数放缩替代，化成什么函数看限制条件。
-
拆根号小技巧：乘一个数字然后均值，可以直接把里面平方出来。
-
\(abc=1\) 的情况可以换元成 \(x/y,y/z,z/x\)这一类，目的是把限制直接融入题目。
-
不想拆开的东西之间整个换成一个变量就行。
-
根号内有平方和 \(\to\) 柯西，平方和为定值 \(\to\) 柯西。
-
不等式条件为，\(a,b,c\) 是三角形三边长，永不亏换元：\(a=x+y,b=y+z,c=z+x\)(每条边被内切圆割成两个部分)
-
\(\sum ab\le\sum a^2\)
-
\(\sum 2ab=(\sum a)^2-\sum a^2\)
-
带 \(\sum ab\) 的经常可以通过加减 \((\sum a)^2\) 之类的消去。
-
高级带低级小于中级，得高级大于中级。
-
$\sum x^2 \ge \frac{(\sum x)^2}{n} $
-
不对称时候，可以尝试，待定系数法，如果看到一条路径就肯定可以用了。
-
\(\sqrt{p^2+q^2}\ge xp+yq\ \ \ \ \ \ \ (x^2+y^2=0)\)
-
不对称的不等式常考虑配方。
-
代入换把东西替换掉
-
难看的东西可以换元成一个整体。
-
根号搞不掉，里面乘几个 \(1\) ，然后均值。
-
高次搞不掉，借几个一加起来，然后均值
-
一些应对：
- 条件给 \(\sum ab=k\)，可以变成 \(\sum a^2>=k\)，或 \(a=\cot \theta\) 或 \(a=\tan \frac\theta 2\)
数列
- 先求出几项看看，观察观察，得到答案直接数归，得到关系也有帮助。
- 不动点法
- 特征根法
- 求和必裂项
- 求数列前缀和和东西的关系：三种办法：
- 把另一边差分，然后和这个数列每一项比，归纳。
- 裂项
- 直接归纳法
- 求出前缀和通项
- 给 \(S_n\) 和 \(a_n\) 关系求通项。
- 考虑两式相减 \(S_n\) 消掉，占 \(70\%\)
- 考虑把 \(a_n\) 换成 \(S_n-S_{n-1}\)，占 \(30\%\)
- 两式相减的优点（没事多减减）：
- 消常数项
- 消去重复项
- 可能得到平方差。
- 一次线性递推中，如果左右 \(a\) 前系数差为常数，一定可以补常数项，然后放到 \(a\) 里面，变成比例式进行递推。
- 收敛极限，\(n\to+\infty\) 时候，\(a_n\) 和 \(a_{n-1}\) 当作相同。
- 交织数列：
\[\left\{
\begin{array}{c}
a_{n+1}=Aa_n+Bb_n+C \\
b_{n+1}=Da_n+Eb_n+F
\end{array}
\right.
\]
\[\Rightarrow b_{n}=\dfrac 1 B(Aa_n-a_{n+1}+C)
\]
\[\Rightarrow \dfrac 1 B(Aa_{n+1}-a_{n+2}+C)=Da_n+\dfrac E B(Aa_n-a_{n+1}+C)+F
\]
然后可以配成 \(\alpha a_{n+2}=\beta a_{n+1}+\gamma a_n\)，然后特征根之类的。
对数归：曾经，身为纯粹 \(\text{OIer}\) 的那个我，对数归是多么的不屑一顾。而现在我，已然被染上了数竞和物竞的颜色，数归啊，原来这才是你的真实面目吗，数归啊，请原谅我过往高傲的姿态。
立体几何
- 正三棱锥的顶角确定形状，这个顶角是重要的。
多项式
- 见到 \(\prod x^2+1\) 就变成 \(\prod (-i-x)(i-x)\) 或 \(-\prod (i+x)(i-x)\)
- 多项式喜欢和数论配合考。
函数方程
- 单未知数类：
- 代换法。
- 消元。
- 特值如 \(x=0\) 等
- 双未知数类
- \(x,y\) 不对称，交换 \(x,y\)
- 特值：
- \(x=0\)
- \(y=x\)
- \(y=-x\)
- 有 \(x\times y\)，取\(y=\dfrac 1 x\)，此时 \(f(xy)=f(1),f(x+y)=f(\dfrac 1x+x)\)，如果有 \(f(x+n)=f(x)+n\) 类结论，可以使用，变成 \(f(\dfrac 1 x +x)=f(\dfrac 1 x)+x\)。
- 有满射就可以把 \(f(y)\) 和 \(x\) 当同阶的了，因为可以令 \(f(y)=k\)，相当于一个任意未知数。
- 有 \(f(f(x))=g(x)\)，经常外面再套一层变成\[fff(x)=f(g(x))=g(f(x)) \]
- 做不出函数题时候看看有没有：奇偶，周期，单调。函数方程加单射（反证，可拆外层 \(f\)），满射(可令 \(f(x)\) 等于任意值回带)。
- 猜到一个函数方程只能是常函数，却不好推出，最好考虑反证法，假设不是常函数，然后取出两个不同的值，差不为 \(0\)，然后找出矛盾。
- 猜函数是常函数：如果有给定义域是整数，那就可以设 \(f(x)-f(y)\) 不为 \(0\) 且最小，然后找到更小得到矛盾。
- 一个妙妙：类似
\[f(f(x)+y)=f(x^2-y)+4yf(x)
\]
代入
\[y=\dfrac{x^2-f(x)}2
\]
可以消去 \(f(f(x)+y)\) 和 \(f(x^2-y)\) 得
\[f(x)(x^2-f(x))=0
\]
难道不高妙吗。
向量与复数
向量常用结论
- \(\Delta ABC\) 内任意一点 \(O\) 满足：
\[\dfrac{S_{\Delta OBC}}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{OA}+\dfrac{S_{\Delta OAC}}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{OB}+\dfrac{S_{\Delta OAB}}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{OC}=0
\]
- \(\Delta ABC\) 内心 \(I\) 满足
\[a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=0
\]
- 遇到模长大小可以平方然后开掉。
- 遇到外心(看 \(OX,(X\in{A,B,C}\)) 投影在邻边中点），得结论如：
\[\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{BC}=\dfrac{a^2}2
\]
- 经常要想到把一个向量拆成两个，甚至多个。
复数常用结论
- 三角形式，经常可以解决乘除形式。
- 复数乘自己的共轭等于长度平方,反过来，把长度平方变成两个共轭复数积也可以：
\[z\cdot \bar z=\lvert z\rvert^2
\]
