圆锥曲线（new）

大题好方法/技巧：

• 极点极线（定比点差）（点列线束转化直接用两个正弦定理和同理写）
• 参数方程
• 齐次化（貌似可以完全被替代）
  • （若定点在二次曲线上会简化不少，否则可能较麻烦，若先给斜率的和或积则用，否则非对称可能更快）
  • （若给出或求的东西是斜率和或积的更抽象的关系也可以用用，可能还会存在另一个东西，但是可以用设的直线简单表示出来）
• 点乘双根
• 二次曲线系（还没考虑好大题写法，较少用）
• 非对称情况韦达（适用只要一次联立的题，${\displaystyle \frac{x_1}{x_2}}$ 型和 ${\displaystyle \frac{A{x}_1{x}_2+B{x}_1}{C{x}_1{x}_2+D{x}_2}}$ 之类的型）

直线交曲线，得原点三角形面积（列举一下怕做题时候想不起来）：

• ${\displaystyle \frac{1}{2}}|m||x_1-x_2|$（$m$ 为直线截距）
• $\sqrt{1+k^2}|x_2-x_1|\ast d$（$d$ 为原点到直线距离）

判别式公式（两者变了两个符号）：

• （椭圆）$Ax+By+C=0$ 和 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 联立，$\mathrm{\Delta }=$

$$4a^2{B}^2{b}^2(B^2{b}^2+A^2{a}^2-C^2)$$

• （双曲线）$Ax+By+C=0$ 和 ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}-{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ 联立，$\mathrm{\Delta }=$

$$4a^2{B}^2{b}^2(B^2{b}^2-A^2{a}^2+C^2)$$

直线到点距离固定：

• 直线到某点距离固定,且该点在坐标轴上，设直线为 $y=kx+b$（$y$ 轴上） 或 $x=my+n$（$x$ 轴上） 就能得到简单的，直线两参数的二次关系。

• 接下来就是，由圆锥曲线和直线得到新的关系然后和前一步得到的关系联立，得到结果。

什么时候用参数方程比较合适呢？（目前体会：联系长度和角度）

椭圆中心引出两条相互垂直的半径，长度倒数平方和为定值 ${\displaystyle \frac{1}{a^2}}+{\displaystyle \frac{1}{b^2}}$ 参数方程易证，齐次化稍慢。

参数方程什么用（代入曲线方程自带平方，和三角函数相性好）：

1. $(a\cos \theta ,b\sin \theta )$ 型

• 可以用来隐晦地表达仿射变换，等价于使用仿射变换的代数部分。

2. $(t\cos \theta ,t\sin \theta )$ 型

• 在问题聚焦长度的时候用，同时需要设的两个直线的夹角有平行垂直之类的关系。

• 极点极线

• 一般二次曲线上有四个点连线就可以考虑。

• 如果存在中点，可以考虑是否能用某个点连接两个端点和中点和一条平行线、

• 抛物线上两点斜率，两点代入抛物线方程然后相减可得 $k={\displaystyle \frac{2p}{y_1+y_2}}$

只要一次联立的题，要么对称（直接韦达/点乘双根/齐次化）要么非对称。