史上最清晰的函数空间讲解

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史上最清晰的函数空间讲解
1.什么是数学的空间？
数学的空间定义了研究工作的对象和遵循的规则，研究工作的对象在空间中称之为元素，遵循的规则在空间中称之为结构，结构有线性结构（加法和数乘）和拓扑结构（距离、范数和开集）两种。

2.具象和抽象的事物该如何描述？
具象的事物具体描述，抽象的事物属性描述

3.两个向量/函数之间的距离如何定义？
3.1 两个向量之间的距离如何定义？
闵可夫斯基距离：( ∑ i = 1 n ∣ x i − y i ∣ p ) 1 p (\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p)^{\frac{1}{p}}(∑
i=1
n
​
∣x
i
​
−y
i
​
∣
p
)
p
1
​


p=1为曼哈顿距离：d ( x , y ) = ∣ x 1 − y 1 ∣ + … … + ∣ x n − y n ∣ d(x,y)=|x_1-y_1|+……+|x_n-y_n|d(x,y)=∣x
1
​
−y
1
​
∣+……+∣x
n
​
−y
n
​
∣
p=2为欧式距离：d ( x , y ) = ( x 1 − y 1 ) 2 + … … + ( x n − y n ) 2 d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+……+(x_n-y_n)^2}d(x,y)=
(x
1
​
−y
1
​
)
2
+……+(x
n
​
−y
n
​
)
2

​

p = ∞ p=\inftyp=∞为契比雪夫距离：d ( x , y ) = m a x { ∣ x 1 − y 1 ∣ , … … , ∣ x n − y n ∣ } d(x,y)=max\{|x_1-y_1|,……,|x_n-y_n|\}d(x,y)=max{∣x
1
​
−y
1
​
∣,……,∣x
n
​
−y
n
​
∣}

3.2 两个函数之间的距离如何定义？
d 1 ( f , g ) = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) 2 d x d_1(f,g)=\int_a^b(f(x)-g(x))^2dxd
1
​
(f,g)=∫
a
b
​
(f(x)−g(x))
2
dx
d 2 ( f , g ) = m a x a ≤ x ≤ b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d_2(f,g)=max_{a\leq x\leq b}|f(x)-g(x)|d
2
​
(f,g)=max
a≤x≤b
​
∣f(x)−g(x)∣
d 3 ( f , g ) = ∫ a b ( f ( x ) − g ( x ) ) k d x d_3(f,g)=\int_a^b(f(x)-g(x))^kdxd
3
​
(f,g)=∫
a
b
​
(f(x)−g(x))
k
dx

4.距离该如何描述？
距离是抽象的事物，用属性描述。
距离的定义： 设X是一个非空集合，对于集合内任意两个元素x和y都有一个实数d(x,y)与它们相对应，并且满足三个条件（属性）：
1、非负性：d ( x , y ) ≥ 0 d(x,y)\geq0d(x,y)≥0
2、对称性：d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x,y)=d(y,x)d(x,y)=d(y,x)
3、三角不等式：d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)
则称d ( x , y ) d(x,y)d(x,y)是两点之间的距离。

5. 什么是线性空间（向量空间）？
空间中研究工作的对象是向量，遵循的规则是线性结构，任意一个向量都可以通过其它两个向量的加法和数乘表示出来

6. 范数
6.1 什么是范数？
设∥ x ∥ \parallel x \parallel∥x∥是线性空间的范数，满足以下三个属性：
1.非负性：∥ x ∥ ≥ 0 \parallel x\parallel \geq0∥x∥≥0
2.齐次性：∥ α x ∥ = ∣ α ∣ ∥ x ∥ \parallel\alpha x \parallel=|\alpha|\parallel x \parallel∥αx∥=∣α∣∥x∥
3.三角不等式：∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ \parallel x+y \parallel\leq \parallel x \parallel+\parallel y \parallel∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥
通俗来讲，范数是x到零点的距离。

6.2 常用的几种范数
1-范数：∥ x ∥ = ∣ x 1 ∣ + … … + ∣ x n ∣ \parallel x\parallel=|x_1|+……+|x_n|∥x∥=∣x
1
​
∣+……+∣x
n
​
∣
2-范数：∥ x ∥ = x 1 2 + … … x n 2 \parallel x\parallel=\sqrt{x_1^2+……x_n^2}∥x∥=
x
1
2
​
+……x
n
2
​

​

∞ \infty∞-范数：∥ x ∥ = m a x { ∣ x 1 ∣ , … … , ∣ x n ∣ } \parallel x \parallel=max\{|x_1|,……,|x_n|\}∥x∥=max{∣x
1
​
∣,……,∣x
n
​
∣}
总结：1-范数对应于曼哈顿距离，2-范数对应于欧式距离，∞ \infty∞-范数对应于契比雪夫距离，所以说范数是x到零点的距离。

6.3 范数与距离的关系？
范数是距离的子集，由范数可以定义距离，但由距离不一定可以定义范数。

6.4 线性赋范空间和线性度量空间
赋予范数的线性空间称为线性赋范空间，范数表示向量的模长。 赋予距离的线性空间称为线性度量空间，距离表示向量之间的距离。
7. 内积空间
7.1 内积空间的由来：
线性赋范空间只能表示向量的模长，不能表示向量的夹角，为克服这一缺陷，我们引入内积。 #### 7.2 什么是内积? 设(x,y)是实数，且满足以下三个属性：
1.非负性：x × y ≥ 0 x\times y\geq0x×y≥0
2.对称性：x × y = y × x x\times y=y\times xx×y=y×x
3.第一变元齐次性
则(x,y)是内积。
7.3 内积与范数的关系：
内积是范数的子集，内积可以定义范数，但范数不一定可以定义内积 #### 7.4 什么是内积空间？ 在线性空间上定义内积称为内积空间，内积空间又叫做欧几里得空间。 ### 8. 希尔伯特空间 希尔伯特空间=无穷维内积空间+完备性 完备性：空间中的元素进行极限运算，取极限后依然在此空间中 ### 9. 巴拿赫空间 巴拿赫空间=线性赋范空间+完备性 完备性：空间中的元素进行极限运算，取极限后依然在此空间中 ### 10.拓扑空间 #### 10.1 什么是开集？ 设X是任意集合，a是X的子集构成的族，若满足： 空集和X属于a； a中任意多个元素之并属于a； a中有限多个元素之交属于a； 则a中的元素称为开集，a是X的一个拓扑。 #### 10.2什么是拓扑空间？ （X,a）称为拓扑空间。
总结：
拓扑->距离->范数->内积；
拓扑空间->线性度量空间->线性赋范空间->内积空间；
巴拿赫空间=线性赋范空间+完备性，希尔伯特空间=无穷维内积空间+完备性