如何通俗易懂地解释卷积?
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从数学上讲,卷积就是一种运算。
某种运算,能被定义出来,至少有以下特征:
-
首先是抽象的、符号化的
-
其次,在生活、科研中,有着广泛的作用
比如加法:
-
,是抽象的,本身只是一个数学符号
-
在现实中,有非常多的意义,比如增加、合成、旋转等等
卷积,是我们学习高等数学之后,新接触的一种运算,因为涉及到积分、级数,所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称
为
的卷积
其连续的定义为:
其离散的定义为:
这两个式子有一个共同的特征:
这个特征有什么意义?
我们令
,那么
就是下面这些直线:
如果遍历这些直线,就好比,把毛巾沿着角卷起来:
或许,这就是“卷”积名字的来源吧。
只看数学符号,卷积是抽象的,不好理解的,但是,我们可以通过现实中的意义,来习惯卷积这种运算,正如我们小学的时候,学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中,这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子:丢骰子
我有两枚骰子:
把这两枚骰子都抛出去:
求:
这里问题的关键是,两个骰子加起来要等于4,这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:
那么,两枚骰子点数加起来为4的情况有:
因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:
符合卷积的定义,把它写成标准的形式就是:
3 连续卷积的例子:做馒头
楼下早点铺子生意太好了,供不应求,就买了一台机器,不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是
,那么一天后生产出来的馒头总量为:
馒头生产出来之后,就会慢慢腐败,假设腐败函数为
,比如,10个馒头,24小时会腐败:
想想就知道,第一个小时生产出来的馒头,一天后会经历24小时的腐败,第二个小时生产出来的馒头,一天后会经历23小时的腐败。
如此,我们可以知道,一天后,馒头总共腐败了:
这就是连续的卷积。
4 图像处理中的应用
4.1 原理
有这么一副图像,可以看到,图像上有很多噪点:
高频信号,就好像平地耸立的山峰:
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是,把山峰刨掉一些土,填到山峰周围去。用数学的话来说,就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到:
4.2 计算
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图,可以把它转为一个矩阵:
然后用下面这个平均矩阵(说明下,原图的处理实际上用的是正态分布矩阵,这里为了简单,就用了算术平均矩阵)来平滑图像:
记得刚才说过的算法,把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑
点,就在矩阵中,取出
点附近的点组成矩阵
,和
进行卷积计算后,再填回去:
要注意一点,为了运用卷积,
虽然和
同维度,但下标有点不一样:
我用一个动图来说明下计算过程:
写成卷积公式就是:
要求
,一样可以套用上面的卷积公式。
这样相当于实现了
这个矩阵在原来图像上的划动(准确来说,下面这幅图把
矩阵旋转了
):
从数学上讲,卷积就是一种运算。
某种运算,能被定义出来,至少有以下特征:
-
首先是抽象的、符号化的
-
其次,在生活、科研中,有着广泛的作用
比如加法:
-
,是抽象的,本身只是一个数学符号
-
在现实中,有非常多的意义,比如增加、合成、旋转等等
卷积,是我们学习高等数学之后,新接触的一种运算,因为涉及到积分、级数,所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称
为
的卷积
其连续的定义为:
其离散的定义为:
这两个式子有一个共同的特征:
这个特征有什么意义?
我们令
,那么
就是下面这些直线:
如果遍历这些直线,就好比,把毛巾沿着角卷起来:
或许,这就是“卷”积名字的来源吧。
只看数学符号,卷积是抽象的,不好理解的,但是,我们可以通过现实中的意义,来习惯卷积这种运算,正如我们小学的时候,学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中,这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子:丢骰子
我有两枚骰子:
把这两枚骰子都抛出去:
求:
这里问题的关键是,两个骰子加起来要等于4,这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:
那么,两枚骰子点数加起来为4的情况有:
因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:
符合卷积的定义,把它写成标准的形式就是:
楼下早点铺子生意太好了,供不应求,就买了一台机器,不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是
,那么一天后生产出来的馒头总量为:
馒头生产出来之后,就会慢慢腐败,假设腐败函数为
,比如,10个馒头,24小时会腐败:
想想就知道,第一个小时生产出来的馒头,一天后会经历24小时的腐败,第二个小时生产出来的馒头,一天后会经历23小时的腐败。
如此,我们可以知道,一天后,馒头总共腐败了:
这就是连续的卷积。
4 图像处理中的应用
4.1 原理
有这么一副图像,可以看到,图像上有很多噪点:
高频信号,就好像平地耸立的山峰:
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是,把山峰刨掉一些土,填到山峰周围去。用数学的话来说,就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到:
4.2 计算
卷积可以帮助实现这个平滑算法。
有噪点的原图,可以把它转为一个矩阵:
然后用下面这个平均矩阵(说明下,原图的处理实际上用的是正态分布矩阵,这里为了简单,就用了算术平均矩阵)来平滑图像:
记得刚才说过的算法,把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑
点,就在矩阵中,取出
点附近的点组成矩阵
,和
进行卷积计算后,再填回去:
要注意一点,为了运用卷积,
虽然和
同维度,但下标有点不一样:
我用一个动图来说明下计算过程:
写成卷积公式就是:
要求
,一样可以套用上面的卷积公式。
这样相当于实现了
这个矩阵在原来图像上的划动(准确来说,下面这幅图把
矩阵旋转了
):