01背包初始化的理解

　　前段时间看DP中的01背包问题，大部分内容都好理解，网上也有很多关于这个问题的博客，但自己提出的问题没有得到解决，只好苦思冥想，以求进一步理解。

　　首先是问题描述：给定n种物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值是pi，背包的容量是M，问如何选

择装入背包中的物品总价值最大？　　

　　这里有两种情况一种是将背包恰好装满，一种是不要求恰好装满。解决这样的问题的方式就是通过设置初始化来解决。

　　01背包详细内容不再唠叨了，大家看看http://www.cnblogs.com/lzh-cnblogs/p/3359881.html，现在主要就上述两

种情况来说明。

　　当要求恰好装满时，初始化f[0,0]=0

　　　　　　　　　　　　　　f[0,1]=f[0,2]=.......=f[0,n]=-∞

　　当不要求恰好装满，初始化f[0,0]=f[0,1]=.......=f[0,n]=0  说明：这里的负无穷可以理解为没有方案可以满足要求。

　　首先明白一点：动态规划的过程中总是将一个比较大的问题分解成子问题来解决，这个子问题与该较大问题

具有共同的性质。f[i,v]是说从前i个物品中挑出物品，将他们放入体积为v的背包可以获得的最大价值。f[0,1....n]

可以看做是从前0个物品中挑选，放入体积分别为0,1，.....,n的背包。f[0,1...n]可以看做是最简化的01背包问题了。

它也是许多较大问题的最初的子问题。

　　先来看恰好装满的情形：举个例子f[0,4]表示从前0个物品中挑选（没有物品可以选择）放入体积为4的背包，

如果要求恰好装满，智商只要>0都知道不可能放满，所以f[0,4]=-∞,那么同理可见f[0,1...n]都没有办法满足恰好放

满的要求，它们的值都为-∞。只有f[0,0]与它们不同，前0个物品放入体积为0的背包，恰好满足放满的要求。包里

是空的，其物品价值=0，即f[0,0]=0。

　　再来看不要求放满的情形：在这种要求下无论背包的体积是0到n的哪一个个，从前0个物品中选出放入体积

为0....n的背包，它们都有方案可以满足情形的要求，也就是在不放入任何物品。此时包里没有物品它们的价值即f

[0,0....n]初始化为0即可。

 

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　　再来从底向上看初始化的值是如何作用于较大规模的问题：

　　假设有一个体积为10的背包，物品的体积分别为4、5、6，对应的价值为10,17,16 。

　　由01背包的状态转移方程f[i,v]=max{f[i-1,v],f[i-1,v-v[i]]+w[i]}　

　　可知计算f[3,10]需要知道f[2,10]与f[2,4]这两个子问题，每个子问题又需要计算更小的的子问题，这里做了下图以供说明：

　　　

　　注意：这里出现了f[1,-1]它是完全不可能的一种情况，因为包的大小不可能为-1。

　　如果要求恰好装满背包，显然f[3,10]=10+16=26,也就是选择体积为4与6的物品为价值最高且满足题意的选

择。那么从01背包的算法如何得到正确的选择？由算法的过程可知要求f[3,10]需要求的子问题如上图所示。01背

包算法从底向上计算，这里恰好装满背包则初始化f[0,0]=0,f[0,1...10]=-∞，即最下面的一排除了f[0,0]+10，其他几

个子问题值都为-∞。由此依次往上计算，最终可知只有从f[0,0]+10     f[1,4]　　f[2,4]+17　　f[3,10]　这样的一条

路径可以得到想要的结果，其他几条路径下f[3,10]=-∞即不能恰好装满。在满足题意的这条路径上可以看出选择

了体积为4和6的物品，价值为26。

　　如果要求不需恰好装满，f[0,0...n]=0，最下一排都有自己的值（不为-∞），从底向上计算可知在恰好装满背

包中选出的路径得到的结果不是最大值，而是从f[0,1]+10开始的路径得到最大的值27。

 

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　　最后一个问题：本来要解决的是恰好装满背包与不需恰好装满背包的问题，如何联想到通过赋初值从而

简单巧妙的解决的这个问题？

　　一个思路是将背包问题的规模从大化小，考虑最简单的背包问题f[1,10]与考虑f[10000,1000000]是同样思路,那

么在遇到f[i,v]的问题时是否可以考虑从f[0,1],f[0,2]等等这样的问题来考虑。装满与不需装满背包就可以将问题看

做将前0个物品放入容量为v的背包这样的简单问题处理。

　　总结就到这里，欢迎各位看官批评指正。