DNF【学习笔记】傅里叶变换

本文未完成（Do Not Finish）

零、前言

这篇文章，我们讨论一维的傅里叶变换。

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参考资料：

• But what is the Fourier Transform? A visual introduction. - 3Blue1Brown
• 核磁共振为何知道 - 老奇好好奇
• wikipedia

注：本文的引用不标注来源则都来源于 wikipedia。

在此表示感谢。

一、概念

1. 是什么，为什么

傅里叶变换（英语：Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域（或空域）和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。实际上傅里叶变换就像化学分析，确定物质的基本成分；信号来自自然界，也可对其进行分析，确定其基本成分。

看懂了吗，乍一看确实不好理解。其实就是在说，傅里叶变换是做信号处理的。

做什么处理？傅里叶告诉我们：

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

这同时也是傅里叶级数的定义。

一个周期函数可以用若干个正弦函数和余弦函数构成，如果我们给出了一个周期函数，那么是否可以拆分出这几个正弦函数和余弦函数呢？

答案是肯定的，不然这篇文章就到此结束了。

傅里叶变换做的就是这样的一件事情。

我们看傅里叶变换定义的第一句话，中间出现了“时域”、“空域”和“频域”，这些是什么呢？

空域是二维傅里叶变换的概念，我们这里不做过多解释，若感兴趣可以自行查找相关资料。

2. 时域与频域

时域，即时间域；频域，即频率域。

相似地，空域，即空间域。

说了好像跟没说一样。。

时域（英语：time domain）是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。

若考虑离散时间，时域中的函数或信号，在各个离散时间点的数值均为已知。若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知。

在研究时域的信号时，常会用示波器将信号转换为其时域的波形。

在电子学、控制系统及统计学中，频域（frequency domain）是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部分，而不是和时间有关的部分，和时域一词相对。

函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。例如傅立叶变换可以将一个时域信号转换成在不同频率下对应的振幅及相位，其频谱就是时域信号在频域下的表现，而反傅立叶变换可以将频谱再转换回时域的信号。

看懂了吗，我猜大概率没有看懂。

二、傅里叶级数

1. 级数

级数（英语：Series）是数学中一个有穷或无穷的序列例如 ${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}\ldots }$ 之和，即 ${\displaystyle s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots }$，如果序列是有穷序列，其和称为有穷级数；反之，称为无穷级数（一般也简称为级数）。

序列 ${\displaystyle u_{0},u_{1},u_{2},\ldots }$ 中的项称作级数的通项（或一般项）。级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。一般的，如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。

有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。

无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。无穷级数一般写作 ${\displaystyle \textstyle u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots }$、${\displaystyle \textstyle \sum u_{n}}$ 或者 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$，级数收敛时，其和通常被表示为 ${\displaystyle s=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}}$，其中符号 ${\displaystyle \sum }$ 称为求和号。

简单来说就是一堆东西的和，还是比较好理解的。

举一个最简单的例子：

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \ldots$$

这就是一个无穷级数，也是一个常数项级数，明显地，它是发散的。

2. 傅里叶级数

任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。

$$f(x) = \sum^{\infty}_{n = 0} a_n cos(n x) + \sum^{\infty}_{n = 1} b_n sin(n x)$$

展开是这样的：

$$f(x) = a_0 + a_1 cos(x) + a_2 cos(2 x) + \ldots + b_1 sin(x) + b_2 sin(2 x) + \ldots$$

比如这里举一个例子：

上图中，周期函数 $p$ 是绿色的正弦函数 $f$、$g$ 和余弦函数 $h$ 相加而成的（请不要在意 $y$ 坐标，只是为了对比，而且我不知道怎么搞 3D，所以就这样放在了一起）。

其他的函数不存在，系数为 $0$。

$$p(x) = 0 + cos(x) + 0 cos(2 x) + \ldots + sin(x) + sin(2 x) + 0 sin(3 x) + \ldots$$

3.