论 1=0.99999999……

数学中的浮点数表示有一定的精度限制，无限循环小数在计算机里也是通过截断来表示的，这导致了一个从数学上看似乎十分奇怪的现象：$1$ 与无穷小数 $0.9999999$…竟然是相等的。

我们可以这样来理解这个现象。考虑这样一个问题：如果$0.9999999$…不等于 $1$，那么它们之间应该差多少呢？假设它们之间的差为$ε$，则有：

$1 - 0.9999999… = ε$

根据定义，$ε$是一个无限小数，即它可以无限接近于 $0$，但不等于 $0$。我们可以将 $0.9999999$…转化为一个无穷级数：

$0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +$ …

它的通项公式为：

$0.9 × 10^(-n)$

其中n为正整数。我们将这个级数前n项相加，得到：

$S(n) = 0.9 + 0.09 + … + 0.9 × 10^(-n)$

$S(n) = (1 - 10^(-n)) / 10$

当 $n$ 趋向于无穷大时，$S(n)$ 趋向于：

$S = lim(n→∞) S(n) = (1 - 0) / 10 = 0.1$

因此，$0.9999999$…可以写成：

$0.9999999… = 0.9 + 0.09 + 0.009 + … = S = 0.1$

那么，根据之前的假设，我们有：

$1 - 0.9999999… = ε$

$1 - 0.1 = ε$

$ε = 0.9$

也就是说，$1$ 与 $0.9999999$…之间的差等于 $0.9$，而 $0.9$ 显然不是一个无穷小数，而是一个有限的数值，这与我们最初的假设矛盾。因此，我们得出结论：

$1 = 0.9999999$…

要注意的是，这个结论只是针对无穷循环小数$0.9999999$…，并不适用于其他无穷循环小数。这个结论在实践中也有一定的应用价值，比如在测量误差分析中经常用到。