快速幂+大整数乘法

合集 - 算法与数据结构(2)

1.快速幂+大整数乘法2023-04-28

2.递归实现三类枚举2023-04-28

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(快速幂+位运算)

$$\begin{gathered} 0\le a,b\le {10}^9 \\ 0\le p\le {10}^9 \end{gathered}$$
快速幂：
（1）取模运算法则

• (a + b) % p = (a % p + b % p) % p
• （a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
• (a * b) % p = (a % p * b % p) % p

（2）快速幂可以在O(logk)内算出$a^k$mod p的值
先处理出：
$a^{2^0}modp$
$a^{2^1}modp$
$a^{2^2}modp$
$a^{2^3}modp$
$a^{2^4}modp$

$a^{2^{logk}}\mathrm{mod}p$
只需要把k处理成二进制就可以了
那如何进行预处理呢？
$$\begin{gathered} a^{2^0} \\ {a^{2^1}}^2=a^{2^2} \\ \mathrm{以}\mathrm{此}\mathrm{类}\mathrm{推} \end{gathered}$$
全开LL避免溢出

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL a,b,p;


LL qmi(LL &a,LL &b, LL &q)
{
    LL res = 1 % q;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % q;
        a = a * a % q;
        b >>= 1;
    }
     return res;
    
}

int main()
{
    cin >> a >> b >>p;
    cout << qmi(a,b,p)<<endl;
    
    return 0;
}

例：
求 a * b % p 的值
$1\le a,b,p\le {10}^{18}$
Py自带高精度，所以虐杀
a = input()
b = input()
p = input()
print(a * b % p)
C++代码可以用位运算来做
可以参考上述快速幂的思想，a * b = a + a + a + a......+ a
a 2a 4a 8a 16a .....

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL res(LL &a, LL &b, LL &p)
{
    LL res1 = 0;
    while(b)
        {
            if(b & 1) res1 = (res1 + a) % p;
            a = a * 2 % p;
            b >>= 1;
        }
    return res1;
}

int main()
{
    LL a, b ,p;
    cin >> a >> b >> p;
    cout << res(a, b, p)<<endl;
    return 0;
}

上一章：递归实现三类枚举