快速幂+大整数乘法

(快速幂+位运算)

$0 \leq a, b \leq 10^{9} 0 \leq p \leq 10^{9}$
快速幂：
（1）取模运算法则

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
（a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

（2）快速幂可以在O(logk)内算出 $a^{k}$ mod p的值
先处理出：
$a^{2^{0}} m o d p$
$a^{2^{1}} m o d p$
$a^{2^{2}} m o d p$
$a^{2^{3}} m o d p$
$a^{2^{4}} m o d p$

$a^{2^{l o g k}} \mod p$
只需要把k处理成二进制就可以了
那如何进行预处理呢？
$a^{2^{0}} {a^{2^{1}}}^{2} = a^{2^{2}} 以此类推$
全开LL避免溢出

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
using namespace std;
LL a,b,p;


LL qmi(LL &a,LL &b, LL &q)
{
    LL res = 1 % q;
    while(b)
    {
        if(b & 1) res = res * a % q;
        a = a * a % q;
        b >>= 1;
    }
     return res;
    
}

int main()
{
    cin >> a >> b >>p;
    cout << qmi(a,b,p)<<endl;
    
    return 0;
}

例：
求 a * b % p 的值
$1 \leq a, b, p \leq 10^{18}$
Py自带高精度，所以虐杀
a = input()
b = input()
p = input()
print(a * b % p)
C++代码可以用位运算来做
可以参考上述快速幂的思想，a * b = a + a + a + a......+ a
a 2a 4a 8a 16a .....

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL res(LL &a, LL &b, LL &p)
{
    LL res1 = 0;
    while(b)
        {
            if(b & 1) res1 = (res1 + a) % p;
            a = a * 2 % p;
            b >>= 1;
        }
    return res1;
}

int main()
{
    LL a, b ,p;
    cin >> a >> b >> p;
    cout << res(a, b, p)<<endl;
    return 0;
}