快速傅里叶变换（FFT）学习笔记

有关多项式的一个基础算法，理解起来比较困难。

快速傅里叶变换（$\text{Fast Fourier Transform,FFT}$）和傅里叶变换（$\text{Fourier Transform,FT}$）没什么关系，也不是傅里叶发明的。这种算法用于在 $O(n\log n)$ 时间复杂度内求出两个多项式的卷积（相当于多项式之间相乘）。

前置知识

多项式的表示

$n$ 项式等价于 $n-1$ 次项式。（每个次项的系数都不为零）

系数表示法

形如 $F(x)=\sum\limits^{n-1}_{i=0} a_ix^i$，把一个 $n-1$ 次项式的每一次项都表示出来。

两个多项式直接相乘时间复杂度为 $O(n^2)$。

点值表示法

对于一个 $n-1$ 次多项式，可以用 $n$ 个点 $(x_i,y_i=F(x_i)$ 来表示，相当于由 $n$ 条 $n$ 次方程组成的方程组 。

当两个表示不同多项式的点 $x$ 坐标相等，$y$ 坐标直接相乘。这种情况下相乘时间复杂度为 $O(n)$。

两种表示法间的转换

系数表示法 $\rightarrow$ 点值表示法

对于 $n-1$ 次项式选取 $n$ 个点计算对应值来表示。

点值表示法 $\rightarrow$ 系数表示法

根据每个点列出 $n-1$ 元方程，通过高斯消元解出方程。

注意在上述及下文的关于多个多项式的计算中，要统一次数，次数低的多项式要在高次上补零。

复数

复数及三角函数学习笔记

单位根是在FFT的思想中一项非常重要的部分。

思想

正常多项式的的乘法并没有什么捷径，时间复杂度 $O(n^2)$。于是数学家们想到了可以变为使用点值表示法来运算，能将相乘的时间复杂度优化到 $O(n)$。

接下来的难点便是如何进行系数表示法与点值表示法之间的转换。这需要用到离散傅里叶变换（$\text{Discrete Fourier Transform,DFT}$）和离散傅里叶逆变换（$\text{Inverse Discrete Fourier Transform,IDFT}$）。

请注意接下来的内容中 $n=2^m$，其中 $m\in\N$（$m$ 是正整数），许多性质需要依靠这个条件才能推出来。

DFT

DFT 是一种将多项式从系数表示法转换为点值表示法的算法。

我们设多项式 $A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$。

将其系数及其所对应项按照下标奇偶性分类，则有

$$A(x)=(a+a_2x^2+a_4x^4+\cdots+a_{n-2}x^{n-2})+(a_1x^1+a_3x^3+\cdots+a_{n-1}x^{n-1})$$

设

$$A_1(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+\cdots+a_{n-2}x^{\frac{n}{2}-1}\\ A_2(x)=a_1x+a_3x^2+a_5x^3+\cdots+a_{n-1}x^{\frac{n}{2}-1}$$

（注意此处 $x$ 指数的区别以及此处的 $n$ 与上个公式是同一个）

可以得到：

$$A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2)$$

此时将 $x=\omega_n^k(0<k<\frac{n}{2})$ 带入 $A(x)$，得

$$A(\omega_n^k)=A_1(\omega_n^{2k})+\omega_n^k A_2(\omega_n^{2k})\\ $$

同理，将 $x=\omega_n^{k+\frac{n}{2}}(0<k<\frac{n}{2})$ 带入 $A(x)$，得

$$A(\omega_n^{k+\frac{n}{2}})=A_1(\omega_n^{2k+n})+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k+n})\\ =A_1(\omega_n^{2k}\cdot\omega_n^n)+\omega_n^{k+\frac{n}{2}}A_2(\omega_n^{2k}\cdot\omega_n^n)\\ =A_1(\omega_n^{2k}\cdot1)+\omega_n^k\cdot\omega_n^{\frac{n}{2}}\cdot A_2(\omega_n^{2k}\cdot1)\\ =A_1(\omega_n^{2k})-\omega_n^kA_2(\omega_n^{2k})$$

我们发现这个公式与上面那个公式很像，只有一个系数不一样。也就是说，如果我们知道上面那个

公式，那么下面那个公式就能在 $O(1)$ 的时间内求出来。

发现当 $k$ 的的取值遍历 $[0,\frac{n}{2}-1]$ 时，$k+\frac{n}{2}$ 的取值正好遍历了 $[\frac{n}{2},n-1]$。

也就是说，只需要算出多项式的一半，另一半就能立马算出来，变成了类似于分治的一种思想。

这种思想的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

IDFT

IDFT 是一种将多项式从点值表示法转换为系数表示法的算法。是 DFT 的逆算法。