复数及三角函数学习笔记

复数与三角函数是学习OI数学中比较基础的内容，对于初中选手不是很友好。

定义

复数

定义一个常数 \(i=\sqrt{1}\)，那么所有形如 \(a+bi\) 的数都是复数。（\(a,b\in \R\)）

一般用 \(z\) 表示复数。

弧度制与角度制互转

\(\pi\ rad=180^\circ\)，\(rad\) 可以省略。

这两者都是用于表示在圆中的占比。角度制表示的是对应角在整个圆的角（\(360^\circ\)），弧度制表示的是对应弧与半径的比例。两个的关系就像小数与分数一样。

复平面

一般我们考虑复数的几何意义，都在复平面上考虑。

复平面长成下面这个样子：

在这个坐标系上点 \((a,b)\) 所代表的值为 \(a+bi\)。

不难发现在这个坐标系上一个点只能代表一个复数，一个复数恰好对应一个点。

向量

向量是同时具有方向和大小的量，在几何中用带箭头的线段表示，这个线段的长度及其箭头所指方向与其表示的内容相关。

幅角

以实轴正方向为始边，\(z\) 所对应的向量 \(Z\) 为终边的角 \(\theta\) 称为复数 \(z\) 的幅角。

大概就像下图这个样子：

运算

复数的模

复数 \(z=a+bi\) 的模为其复平面上对应的向量的长度记作 \(|z|\)。\(|z|\) 的计算公式为

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2} \]

可以理解为这个数就是复数 \(z\) 到复平面上原点的距离。

共轭复数

复数 \(z\) 的共轭复数是由 \(z\) 沿着复平面实数轴（\(x\) 轴）反转得到的，记为 \(\overline{z}\)。

\(z\) 与 \(\overline{z}\) 之间有以下的性质：

• 设 \(z\) 的幅角为 \(\theta_0\)，\(\overline{z}\) 的幅角为 \(\theta_1\)，则 \(\theta_0+\theta_1=2\pi\)。
• \(|z|=|\overline{z}|\)
• 若 \(z=a+bi\)，则 \(\overline{z}=a-bi\)。
• \(z\cdot\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2\)，所以 \(z\cdot\overline{z}\) 一定是个实数。

复数简单运算

假设有两个复数 \(z_1=a_1+b_1i\) 和 \(z_2=a_2+b_2i\)。

\[z_1\pm z_2=(a_1\pm b_1i)+(a_2\pm b_2i)=(a_1\pm a_2)+(b_1\pm b_2)i\\ \\ z_1\times z_2=(a_1+b_1i)\times(a_2+b_2i)=a_1a_2+a_1b_2i+a_2b_1i+b_1b_2i^2\\ \because i^2=-1\\ \therefore z_1\times z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i\\ \\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)}=\frac{z_1\overline{z_2}}{a_2^2+b_2^2} \]

设 \(z_0=z_1\times z_2\)。若 \(\theta_0\) 为 \(z_0\) 的幅角，\(\theta_1\) 为 \(z_1\) 的幅角，\(\theta_2\) 为 \(z_2\) 的幅角。则有以下这些性质

\[\theta_0=\theta_1+\theta_2\\ |z_0|=|z_1|\times|z_2| \]

若将上文的 \(z_0\) 的值换为 \(\frac{z_1}{z_2}\)，则有以下这些性质

\[\theta_0=\theta_1-\theta_2\\ |z_0|=\frac{z_1}{z_2} \]

相当于几何意义下的复数相乘。具体证明先鸽一下......

三角函数

三角函数最初的定义是表示直角三角形三边比例关系的函数。

在直角三角形上确定角 \(\theta\)，则邻边、对边、斜边的定义如下：

假设邻边长度为 \(a\)，对边长度为 \(b\)，斜边长度为 \(c\)。则三个三角函数的定义如下：

\[\sin\theta=\frac{b}{c}\\ \cos\theta=\frac{a}{c}\\ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{b}{a}\\ \]

后来人们拓宽了三角函数的定义，把三角函数放到了单位圆上。就变成了这个样子：

也就是说，\(\theta\) 不一定要在 \(0^\circ\sim 90^\circ\) 之间三角函数才有取值，在任意实数角度内都有值（包括负数）。但 \(\tan\) 函数在 \(90^\circ\) 及其整数倍数时是没有定义的。

根据两点间距离公式 \(dis(a,b)=\sqrt{(X_a-X_b)^2+(Y_a-Y_b)^2}\)，可以得出：

\[a^2+b^2=c^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1\\ (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2=1\\ \cos^2 \theta+\sin^2 \theta=1 \]

（此处 \(a,b,c\) 与上文三边长度意思相同）

欧拉公式

我不会。

说白了就是 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)。

可以用泰勒展开证明。

复数的单位根

单位根

若有未知数 \(x\)，则 \(x^n=1\) 的解被称为单位根。这个方程的解在实数范围内最多只有两个，但在复数范围内有 \(n\) 个，复数范围下的单位根也被称为单位复根。下面的问题与这个问题是等价的：

在复平面上，以原点为圆心，做半径为 \(1\) 的圆也就是单位圆。将圆弧 \(n\) 等分（第 \(n\) 份与第 \(1\) 份交界需交于实数轴正半轴上）。以原点为起点，\(n\) 等分点为终点作 \(n\) 个向量，设幅角为正且最小的向量对应的复数为 \(\omega_n\)，其余的 \(n-1\) 个复数分别为 \(\omega_n^2,\omega_n^3,\dots,\omega_n^n\)。这里的 \(n\) 个复数对应的就是上一个问题的 \(n\) 个解。

如果将 \(\omega_n,\omega_n^2,\dots,\omega_n^n\) 画在复平面上大概就是下图的样子（假设 \(n=6\)）：

因为向量相乘，模长相乘，幅角向加。所以相邻两个向量间的模角相等。

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单位根的三个小性质

• \(\omega_n^n=1\)
• \(\omega_n^k=\omega_{dn}^{dk}(d\neq 0)\)
• \(\omega_{2n}{k+n}=-\omega_{2n}^{k}\)

证明很容易，这里就不放证明了。

本原单位根

我们可以借助某些单位根来构造全体单位根，称这样的单位根为本原单位根。

\[{\omega_n^k|0\leq k\leq n,\gcd(n,k)=1} \]

上述几何中的所有元素即为本原单位根。因为本原单位根对于任意的 \(0<k<n\)，都满足 \(\omega_k\neq 1\)，所以可以构造出所有单位根。

一共有 \(\varphi(n)\) 个 \(n\) 次本原原根。（显然）