定义

问题

二分图博弈，顾名思义就是在二分图上进行博弈。

一般来说，二分图博弈形如这个形式：有两名玩家轮流操作二分图上的一个点进行移动，经过的一个点不能经过多次，不能移动的玩家输。问你先手是否存在必胜策略。

结论

先手必胜当且仅当二分图的任何一组最大匹配都包含起始点。

证明

当起点在所有最大匹配上时。

先手每次操作沿着匹配点移动，而后手一定会移动到一个匹配点或无法移动。

若某一步后手可以移动到非匹配点，则可以将路径上的所有边匹配状态交换，得到一组匹配数仍然最大但不包含起点的另一组最大匹配，这与起点在所有最大匹配上相矛盾。

因此当起点在所有最大匹配上时，先手必胜。

当起点不在某组最大匹配上时。

先手第一步移动一定会移动到一个匹配点上或无法移动，因为如果可以移动到一个非匹配点，则可以将这条边加入当前匹配，这与当前匹配时最大匹配相矛盾。

接下来的移动步骤类似于当起点在所有最大匹配上时的移动方案，但是先后手顺序交换，因此先手不存在必胜策略。

综上所述，当起点在所有最大匹配上时，先手必胜；当起点不在某组最大匹配上时，先手不存在必胜策略。

因此先手必胜当且仅当二分图的任何一组最大匹配都包含起始点。

实现

那么我们具体该如何判断一个点是否在二分图所有最大匹配上呢？

寻找最大匹配一般用匈牙利或者网络流。网络流的话大概就是在残量网路上继续跑，这里不重点介绍。

先用匈牙利跑一遍最大匹配，然后从每个未匹配点出发，寻找路径。每个未匹配点一定只能通向匹配点。

令未匹配点为 \(x\)，其连向的匹配点为 \(u\)，匹配点的匹配的另一个点为 \(v\)。若我们将匹配边从 \((u,v)\) 变为 \((u,x)\)，那么该图的匹配依然合法，并且匹配边数不变，但是 \(v\) 点不在最大匹配里。

因此匹配失败时，我们寻找一条类似于正常增广的路径，并将该路径的所有左部点/右部点（取决于你从哪一边开始增广）记为非必须点。

时间复杂度 \(O(nm)\)，其中 \(n\) 为点数，\(m\) 为边数。

模板题

推论

根据Konig定理得：二分图最大匹配数等于最小点覆盖数。

又有二分图最小点覆盖数加最大独立集大小等于总点数（证明），所以可以根据最大独立集大小判断是否必胜，可能在网格图上用得到。