POJ1113-Wall
转载请注明出处：優YoU http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1303097935
大致题意：
给定多边形城堡的n个顶点，绕城堡外面建一个围墙，围住所有点，并且墙与所有点的距离至少为L，求这个墙最小的长度。
解题思路：
推导公式（1）：
城堡围墙长度最小值 = 城堡顶点坐标构成的散点集的凸包总边长 + 半径为L的圆周长
由于数据规模较大，必须用GrahamScan Algorithm构造凸包（详细的算法可以参考我的POJ2187，这里就不再啰嗦了），然后顺序枚举凸包相邻的两点并计算其距离，得到凸包的总边长，最后加上圆周长2πL
根据圆形的性质,其实就相当于多加了一个r=L的圆，把该圆根据凸包的边数（假设有k条）划分为k段弧，分别用来连接凸包上所有边。这样做的目的就是为了在保证围墙距离城堡至少为L的同时，使得转角处为圆角而不是直角，减少建造围城所需的资源。
附：
针对上面的公式（1）copy一个证明：http://blog.sina.com.cn/s/blog_687916bf0100jq
证明如下：假如顺时针给出四个点A、B、C、D。组成了凸四边形ABCD。我们不妨过A点作AE垂直于AB，同时过A点再作AF垂直于AD，过B点作BG、BH分别垂直于AB、BC。连结EG，垂线段的长度为L，过A点以AE为半径作一段弧连到AF，同理，使GH成为一段弧。此时EG=AB（边），AB段城墙的最小值为EF+弧EF+弧GH=AB+弧EF+弧GH。对所有点进行同样的操作后，可知城墙的最小值=四边形的周长+相应顶点的弧长（半径都为L）之和。
下面证明这些顶点弧长组成一个圆。依然以前面的四边形为例。A、B、C、D四顶点各成周角，总和为360*4=1440度，四边形内角和为360度，每个顶点作两条垂线，总角度为4*2*90=720度，所以总圆周角为1440-360-720=360度，刚好组成圆。
所以四边形ABCD的围墙最短= 四边形的周长+圆周长。
推广到任意多边形，用同样的方法，城墙最短=凸包的周长 + 以L为半径的圆的周长。
首先，我们得出城墙最短=凸包的周长 + 相应顶点的弧长（半径都为L）之和。
再证明 相应顶点的弧长（半径都为L）之和=以L为半径的圆的周长。
事实上，设凸包顶点为n,n个顶点组成n个周角，角度为360*n=2*180*n，凸包的内角和为180*(n-2)，作了2*n条垂线，和为2*n*90=180*n,所以总圆周角为2*180*n-180*(n-2)-180*n=360，组成圆。
1 //Memory Time
2 //244K 63MS
3
4 #include<iostream>
5 #include<cmath>
6 #include<iomanip>
7 using namespace std;
8
9 const int inf=10001;
10 const double pi=3.141592654;
11
12 typedef class
13 {
14 public:
15 int x,y;
16 }point;
17
18 /*AB距离平方*/
19
20 int distsquare(point A,point B)
21 {
22 return (B.x-A.x)*(B.x-A.x)+(B.y-A.y)*(B.y-A.y);
23 }
24
25 /*AB距离*/
26
27 double distant(point A,point B)
28 {
29 return sqrt((double)((B.x-A.x)*(B.x-A.x)+(B.y-A.y)*(B.y-A.y)));
30 }
31
32 /*叉积计算*/
33
34 int det(int x1,int y1,int x2,int y2)
35 {
36 return x1*y2-x2*y1;
37 }
38
39 int cross(point A,point B,point C,point D)
40 {
41 return det(B.x-A.x,B.y-A.y,D.x-C.x,D.y-C.y);
42 }
43
44 /*快排判断规则*/
45
46 point* s;
47 int cmp(const void* pa,const void* pb)
48 {
49 point* a=(point*)pa;
50 point* b=(point*)pb;
51
52 int temp=cross(*s,*a,*s,*b);
53 if(temp>0)
54 return -1;
55 else if(temp==0)
56 return distsquare(*s,*b)-distsquare(*s,*a);
57 else
58 return 1;
59 }
60
61 int main(int i,int j)
62 {
63 int N,L;
64 while(cin>>N>>L)
65 {
66 /*Input*/
67
68 point* node=new point[N+1];
69
70 int min_x=inf;
71 int fi;
72 for(i=1;i<=N;i++)
73 {
74 cin>>node[i].x>>node[i].y;
75
76 if(min_x > node[i].x)
77 {
78 min_x = node[i].x;
79 fi=i;
80 }
81 else if(min_x == node[i].x)
82 if(node[fi].y > node[i].y)
83 fi=i;
84 }
85
86 /*Quicksort the Vertex*/
87
88 node[0]=node[N];
89 node[N]=node[fi];
90 node[fi]=node[0];
91
92 s=&node[N];
93 qsort(node+1,N,sizeof(point),cmp);
94
95 /*Structure Con-bag*/
96
97 int* bag=new int[N+2];
98 bag[1]=N;
99 bag[2]=1;
100 int pb=2;
101 for(i=2;i<=N;)
102 if(cross(node[ bag[pb-1] ],node[ bag[pb] ],node[ bag[pb] ],node[i]) >= 0)
103 bag[++pb]=i++;
104 else
105 pb--;
106
107 /*Compute Min-length*/
108
109 double minlen=0;
110 for(i=1;i<pb;i++)
111 minlen+=distant(node[ bag[i] ],node[ bag[i+1] ]);
112
113 minlen+=2*pi*L;
114
115 cout<<fixed<<setprecision(0)<<minlen<<endl;
116
117 delete node;
118 delete bag;
119 }
120 return 0;
121 }
