博弈论 巴什博弈

合集 - 博弈论(3)

1.博弈论 巴什博弈2024-09-12

2.博弈论 Nim游戏2024-09-093.博弈论 SG定理2024-09-12

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博弈论有一个默认的前提就是每个人做的都是对自己有利最佳策略。（能赢就不要输，不能赢也要给对方制造麻烦）

就算当前不能赢也要尽可能 增加对方赢需要进行操作的步骤。

1、问题描述

A和B两个人玩游戏，假设有n个物品，每人每次必须至少拿1个，最多拿m个，先拿到最后一个物品的人获胜。思考一种最佳策略？

2、最优策略

在先取完者胜的巴什博弈中，若n可被m+1整除，则后手方必胜，否则先手方必胜。

    1、当 n < m + 1时 先手方只需要拿完所有物品即可胜利。--先手必胜。

    2、当 n = m + 1时 无论先手方取走多少物品，后手方都能够直接将剩余物品直接取完。--后手必胜。

    3、当 n > m + 1时 设n = k(m + 1) + r 其中 (0 <= r < m + 1)

        当 r = 0时 此时n = k(m + 1)无论先手取多少，后手只需要取走 (m + 1 - 先手取的数量)即可获胜。

        当r != 0时 先手只需要在第一次取走r个物品，即可将情况转移为r = 0，因此此时先手必胜。

    注：为什么是 m + 1，不是m + 2 或者m + 3....

        因为如果取m + 2，下一轮对手只需要取一个，你无论如何取，都不可能将此轮之和变为 n + 2。

3、综上

    1、求n整除m + 1的余数r，若r != 0则拿取r件物品

    2、若r = 0则必败

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4、变体

A和B两个人玩游戏，假设有n个物品，每人每次必须至少拿1个，最多拿m个，先拿到最后一个物品的人失败。思考一种最佳策略？

相当于变成了先拿完n-1个物品的人获胜，因为每次至少要拿1个，只要谁先拿到n-1个物品，剩下的那个人就必须拿完。因此，把赛制1的中的n换成n-1即可。

结论：n%(m+1)==1时，B必胜，否则A必胜。