HMM条件下的 前向算法 和 维特比解码
一、隐马尔科夫HMM如果：
有且仅仅有3种天气：0晴天。1阴天。2雨天
各种天气间的隔天转化概率mp：
| mp[3][3] | 晴天 | 阴天 | 雨天 |
| 晴天 | 0.33333 | 0.33333 | 0.33333 |
| 阴天 | 0.33333 | 0.33333 | 0.33333 |
| 雨天 | 0.33333 | 0.33333 | 0.33333 |
有2种活动： 0去公园，1不去公园
各种天气下进行各种活动的概率：
| w2a[3][2] | 去公园 | 不去公园 |
| 晴天 | 0.75 | 0.25 |
| 阴天 | 0.4 | 0.6 |
| 雨天 | 0.25 | 0.75 |
观察5天的活动序列：0 0 1 0 1 ；（0去公园，1不去公园）
| 5天的动作观察序列 O[5] | ||||
| 1天 | 2天 | 3天 | 4天 | 5天 |
| 去公园 | 去公园 | 不去 | 去公园 | 不去 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
第0天的天气概率pi：
| pi[3] | 第0天天气概率 |
| 晴天 | 0.5 |
| 阴天 | 0.3 |
| 雨天 | 0.2 |
定义几个宏及变量表示HMM：
#define T 5 //观察N天 #define M 3 //每天可能有M种天气 #define N 2 //动作种类。去公园+不去公园 float mp[M][M]; //相邻两天的天气转换概率 float w2a[M][N]; //weather to action，各天气下採取各动作的概率 int O[T]; //N天观察到的天气序列 int bestPath[T][M];//bestPath[t][i]表示 （第t天处于第i种天气状态且出现“O0-Ot”观察序列的概率最大的）路径在时间t-1时刻的天气状态 float pi[M]; //一个M维向量，表示第一天各种天气出现的概率
二、前向算法--出现观察动作序列的概率
即求出现：“1去公园，2去公园，3不去公园，4去公园，5不去公园” 动作序列的概率。
这是一个求和问题。用DP思想的前向算法解决。
1、构造矩阵float sumP[T][M];
sumP[t][i]表示：在时间t，处于天气i，且出现观察动作序列O0-Ot的概率
2、填表求解过程：
//初始表
for(i=0; i<M; i++)
{
sumP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
}
//填表
for(t=1; t<T; t++)
{
for (i=0; i<M; i++)
{
sumP[t][i]=0;
for (j=0; j<M; j++)
{
sumP[t][i] += sumP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[ i ][ O[t] ];
}
}
}
求观察序列出现概率：float sumPP=0;
for(i=1;i<M;i++)
{
sumPP += sumP[T-1][i];
}
cout<<"使用前向算法算出，观察序列的出现概率为"<<sumPP<<endl;三、维特比解码-哪种天气下出现观察动作序列的概率最大
在哪种天气序列下，出现观察序列的概率最大，并求 （出现该天气序列和观察动作序列事件）的最大概率。
这是最优化问题，DP思想求最大，採用维特比解码
1、构造矩阵maxP[T][M]
maxP[t][j], 算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中，（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率。
bestPath[t][i],表示是第t天，天气状态为i状态出现观察序列O0~Ot的最大概率路径下（即取得maxP[t][i]）。第t-1天的天气状态。
2、填表过程：
//初始表
float maxpp=0;
int maxPre=0;
for(i=0;i<M;i++)
{
maxP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
if(maxP[0][i]>maxpp)
{
bestPath[0][i]=-1;
maxpp=maxP[0][i];
}
}
//后填表
for(t=1;t<T;t++) //每一天
{
for(i=0;i<M;i++)//maxP[t][j],要算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中，（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率
{
maxpp=0;
maxPre=0;
for(j=0;j<M;j++)//第t-1天,天气为第j状态
{
float temp = maxP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[i][O[t]];
if(temp > maxpp)
{
maxpp = temp;
maxPre = j;
}
}
maxP[t][i] = maxpp;
bestPath[t][i] = maxPre;
}
}输出最大概率及其天气路径：
float maxEndP=0;
int lastChoice;
for(i=0; i<M; i++)
{
if(maxP[T-1][i] > maxEndP)
{
maxEndP = maxP[T-1][i];
lastChoice = i;
}
}
cout<<"最大的概率为:"<<maxEndP<<endl;
cout<<"全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径为："<<endl;
cout<<lastChoice<<" ";
for(t=T-1; t>0; t--)
{
cout<<bestPath[t][lastChoice]<<" ";
lastChoice = bestPath[t][lastChoice];
}
cout<<endl;
四、代码：
#include<iostream>
using namespace std;
#define T 5 //观察N天
#define M 3 //每天可能有M种天气
#define N 2 //动作种类，去公园+不去公园
float mp[M][M]; //相邻两天的天气转换概率
float w2a[M][N]; //weather to action，各天气下採取各动作的概率
int O[T]; //N天观察到的天气序列
int bestPath[T][M];//bestPath[t][i]表示 （第t天处于第i种天气状态且出现“O0-Ot”观察序列的概率最大的）路径在时间t-1时刻的天气状态
float pi[M]; //一个M维向量，表示第一天各种天气出现的概率，【通常包括一个1，其余为0】
void initHMM()
{
int i,j,k;
//输入天气转移概率
for(i=0; i<M; i++)
{
for(j=0;j<M;j++)
{
cin>>mp[i][j];
}
}
//输入各天气下，採取不同动作的概率
for(i=0; i<M; i++)
{
for(j=0; j<N; j++)
{
cin>>w2a[i][j];
}
}
//输入pi
for(i=0; i<M; i++)
{
cin>>pi[i];
}
//输入观察序列
for(i=0; i<T; i++)
{
cin>>O[i];
}
}
/*维特比算法
已知HMM模型，转移概率（天气转换概率），初始状态（第0天的天气或天气概率），各天气下採取各动作的概率。观察序列（动作序列）
1.求出(使观察序列出现概率最大的)天气路径,
即在那种天气序列下。出现观察序列的概率最大
2.求出 （出现天气路径且出现观察序列的事件）的最大概率
这是一种最优化问题，求最大，DP思想
*/
float viterbi()
{
float maxP[T][M];
int i,j,t;
//初始表
float maxpp=0;
int maxPre=0;
for(i=0;i<M;i++)
{
maxP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
if(maxP[0][i]>maxpp)
{
bestPath[0][i]=-1;
maxpp=maxP[0][i];
}
}
//后填表
for(t=1;t<T;t++) //每一天
{
for(i=0;i<M;i++)//maxP[t][j],要算出第t天处于第i状态且出现观察序列O0~Ot的路径中。（出现天气路径和观察路径）概率最大的路径的概率
{
maxpp=0;
maxPre=0;
for(j=0;j<M;j++)//第t-1天,天气为第j状态
{
float temp = maxP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[i][O[t]];
if(temp > maxpp)
{
maxpp = temp;
maxPre = j;
}
}
maxP[t][i] = maxpp;
bestPath[t][i] = maxPre;
}
}
float maxEndP=0;
int lastChoice;
for(i=0; i<M; i++)
{
if(maxP[T-1][i] > maxEndP)
{
maxEndP = maxP[T-1][i];
lastChoice = i;
}
}
cout<<"最大的概率为:"<<maxEndP<<endl;
cout<<"全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径（逆序）为："<<endl;
cout<<lastChoice<<" ";
for(t=T-1; t>0; t--)
{
cout<<bestPath[t][lastChoice]<<" ";
lastChoice = bestPath[t][lastChoice];
}
cout<<endl;
return maxEndP;
}
/*
前向算法
已知HMM模型，转移概率（天气转换概率）。初始状态（第0天的天气或天气概率）。各天气下採取各动作的概率，观察序列（动作序列）
1.求出观察序列出现的概率为多大
即，在给定的初始天气，转移天气概率。及天气动作概率的条件下。出现观察到的动作概率是多少
这是一个加法求和问题，DP思想
*/
void forward()
{
float sumP[T][M];
//sumP[t][i]表示：在时间t。处于天气i，且出现观察动作序列O0-Ot的概率
int t,i,j,k;
//初始表
for(i=0; i<M; i++)
{
sumP[0][i] = pi[i]*w2a[ i ][ O[0] ];
}
//填表
for(t=1; t<T; t++)
{
for (i=0; i<M; i++)
{
sumP[t][i]=0;
for (j=0; j<M; j++)
{
sumP[t][i] += sumP[t-1][j]*mp[j][i]*w2a[ i ][ O[t] ];
}
}
}
float sumPP=0;
for(i=1;i<M;i++)
{
sumPP += sumP[T-1][i];
}
cout<<"使用前向算法算出。观察序列的出现概率为"<<sumPP<<endl;
}
int main()
{
initHMM();
viterbi();
forward();
system("pause");
}
/*
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.75 0.25
0.4 0.6
0.25 0.75
0.5 0.3 0.2
0 0 1 0 1
*/
五、执行结果：
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.33333 0.33333 0.33333
0.75 0.25
0.4 0.6
0.25 0.75
0.5 0.3 0.2
0 0 1 0 1
最大的概率为:0.00146479
全部路径中，出现观察序列概率的最大的天气路径为：
2 0 2 0 0
使用前向算法算出，观察序列的出现概率为0.0284842
