【算法拾遗】最大公约数

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序言

    求两个正整数的最大公约数是一个非常古老且非常主要的问题，欧几里得在其著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法，也叫做欧几里得算法。

以下我们来看下求最大公约数的一些方法。

方法一

    我们先来看欧几里得的辗转相除法。原理非常easy，假设用f(x,y)表示x和y的最大公约数。我们令x>y，则有x=ky+b,假设一个数可以同一时候整除x和y，则必能同一时候整除b和y。而可以同一时候整除b和y的数也必能同一时候整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数同样，因此二者的最大公约数也同样，则有f(x,y)=f(y,x%y)。一直辗转相除。终于当当中一个为0时。剩下的还有一个就是二者的最大公约数。

一个样例例如以下所看到的：

f(42,30) = f(30,12) = f(12,6) = f(6,0) = 6

    辗转相除法的代码实现例如以下：

/*
欧几里得算法。辗转相除求最大公约数
*/
int MaxYue1(int a,int b)
{
	//在辗转相除之前。确保a比b大
	if(a<b)
	{
		int temp = a;
		a = b;
		b = temp;
	}
	//辗转相除法球最大公约数
	while(b!=0)
	{
		int temp = a%b;
		a = b;
		b = temp;
	}
	return a;
}

    该方法用到了取模运算，编译器在运行取模运算时，会转化为对应的除法运算。如：x%y = x - (x%y)*y，除法运算的开销非常大，尤其对于大的整数。

方法二

    为了避免除法运算带来的大的开销，我们可以用辗转相减法来实现，同样利用的原理例如以下：假设一个数可以同一时候整除x和y，则它必能同一时候整除x-y和y，因此最大公约数f(x,y) = f(y,x-y),注意要保证左边的数大于右边的数，假设小于。则将二者进行交换。

    辗转相减法的实现代码例如以下：

/*
辗转相减法求最大公约数
*/
int MaxYue2(int a,int b)
{
	if(a<b)
		return MaxYue2(b,a);
	if(b==0)
		return a;
	else
		return MaxYue2(b,a-b);
}

    该方法尽管避免了除法操纵带来的大的时间开销。可是对于大的整数。也要进行非常多次的相减操作，尤其遇到两个数相差非常大的情况，比方f(1000000,1)这样的情况。迭代相减的次数就会非常多。

方法三

    为了降低迭代的次数。我们考虑对上述算法进行改进，非常明显，我们可以有例如以下结论：

    1、当x、y都为偶数时。f(x,y) = 2*f(x/2,y/2)

    2、当x为偶数，y为奇数时，f(x,y) = f(x/2,y)

    3、当x为奇数，y为偶数时，f(x,y) = f(x,y/2)  

    4、当x。y多为奇数时。f(x,y) = f(y,x-y)  

    每一次的操作必定是以上四种情况的当中一种。且我们对乘2和除2的操作可以通过移位来完毕，效率非常高，非常明显这样的算法最坏情况下的时间复杂度为O(log2max(x,y))(以2为底。max(x,y)的对数)。非常适合对大的整数进行计算。

    这样的方法实现的代码例如以下;

/*
改进辗转相减法
*/
int MaxYue3(int a,int b)
{
	if(a<b)
		return MaxYue3(b,a);
	if(b==0)
		return a;
	else
	{
		if((a&1)==0)	//a为偶数
		{
			if((b&1)==0) //b也为偶数
				return (MaxYue3(a>>1,b>>1)<<1);
			else		//b为奇数
				return MaxYue3(a>>1,b);
		}
		else	//a为奇数
		{
			if((b&1)==0) //b为偶数
				return MaxYue3(a,b>>1);
			else		//b也为奇数
				return MaxYue3(b,a-b);
		}
	}
}