算法分析---寻找丑数
什么是丑数：
一个数的因子仅仅包括2，3，5的数称为丑数。数字1特别对待也看作是丑数，所以从1開始的10个丑数分别为1，2。3。4，5，6，8，9。10。12。
因子的概念:
整数m除以n，得到无余数的商，则称n是m的一个因子。如8的因子有1、2、4、8。而丑数要求的因子仅仅包括2、3、5。所以丑数中的因子应理解为质因子。
即因子为质数。质数又称素数，指一个大于1的自然数。除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数。
与质数相相应的数称为合数。
如今要求写一个程序，输出从1開始的第N个丑数。
如第一个丑数为1，第二个丑数为2。第十个丑数为12
推断是否是丑数的算法：
设待推断整数位M，M循环除以2直到不能整除。此时接着循环除以3直到不能整除。接着循环除以5直到商为1或者不能整除为止。
商为1且余数为0则为丑数，否则为非丑数。
如：丑数12
12/2 = 6
6/2 = 3;
3/2 不能整除
3/3 = 1; 结束，12是丑数
非丑数26
26/2 = 13
13/2 不能整除
13/3 不能整除
13/5 不能整除
结束，26不是整数
寻找丑数算法1：
（1）设置一个计数器用来统计出现的丑数的个数
（2）从1開始遍历每个整数，推断是否是丑数，假设是丑数则计数器加1。否则遍历下一个整数。
（3）当计数器的值=N时，停止遍历。输出丑数。
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <string.h>
int isUgly(int number){ //推断number是否是丑数
while(number%2==0){ //推断数是否能被2整除
number=number/2;
}
while(number%3==0){ //推断数是否能被3整除
number=number/3;
}
while(number%5==0){ //推断数是否能被5整除
number=number/5;
}
if(number == 1) //
return 1;
else
return 0;
}
int findUgly(int N){ //寻找从1開始的第N个丑数
int count=0; //用于计数
int number=1; //从1開始遍历
while(1){
if(isUgly(number)){ //假设number是丑数计数器加1
count++;
}
if(count == N) //找到第N个丑数，返回丑数
return number;
else
number++;
}
}
void main(){
int N=0;
scanf("%d",&N);
clock_t start = clock();
printf("%d\n",findUgly(N));
clock_t stop = clock();
printf("耗时:%lf\n",(double)(stop - start) / CLOCKS_PER_SEC);
}
上面算法从1開始遍历，来寻找第N个丑数，当N非常大时花费的时间会非常多。当N为1400的时候消耗23秒。随着N的增大。耗时相当严重
寻找丑数算法2：
想办法从上一个丑数判断出下一个丑数，而不须要从1開始遍历再判断。从1開始的10个丑数分别为1，2。3，4，5，6，8。9。10。12。
能够发现除了1以外。丑数都是由某个丑数*2或者*3或者*5得到的。
如2是丑数1*2得到的，3是丑数1*3得到的。4是丑数1*4得到的。5是丑数1*5得到的。6是丑数2*3得到的……
详细算法步骤：
（1）从第一个丑数1開始，求出1*2=2 ，1*3=3 ，1*5 = 5。
（2）取上面乘积中大于1的最小值2，作为第二个丑数（丑数是个递增序列。所以第i+1个丑数一定比第i个丑数）
（3）求丑数2之前的丑数与2、3、5的乘积：1*2=2 ，1*3=3 ，1*5 = 5； 2*2 = 4； 2*3 = 6。 2*5 =10。
（4）取上面乘积中大于2的最小值3，作为第三个丑数
……
……
（i）取出丑数i之前的丑数分别与2、3、5的乘积
（i+1）取乘积中大于i的最小值作为丑数
（i+2）反复(i)(i+1)的步骤直到计数器等于N
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <string.h>
#define MaxLen 99999
//用于求出3个数的最小值
int compare(int chenTwo,int chenThree,int chenFive){
if(chenTwo <=chenThree){
if(chenTwo <= chenFive)
return chenTwo;
else
return chenFive;
}
else if(chenThree <= chenFive)
return chenThree;
else
return chenFive;
}
//找出第N个丑数
int findUgly(int N){
int ugly[MaxLen]={1}; //用于保存丑数的数组，将丑数1存入数组中
int count=1; //数组中仅有丑数1，所以计数器为1
while(1){
int chenTwo = 0;
int chenThree = 0;
int chenFive = 0;
/*
ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
ugly[count-1]之前的丑数与2相乘,
求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenTwo中
*/
for(int i = 0 ; i < count ; i++){
if(ugly[i]*2 >ugly[count-1]){
chenTwo = ugly[i]*2;
break;
}
}
/*
ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
ugly[count-1]之前的丑数与3相乘,
求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenThree中
*/
for(i = 0 ; i < count ; i++){
if(ugly[i]*3 >ugly[count-1]){
chenThree = ugly[i]*3;
break;
}
}
/*
ugly数组中最新的一个丑数为ugly[count-1],
ugly[count-1]之前的丑数与5相乘,
求出第一个乘积大于ugly[count-1]的值保存在chenFive中
*/
for(i = 0 ; i < count ; i++){
if(ugly[i]*5 >ugly[count-1]){
chenFive = ugly[i]*5;
break;
}
}
//chenTwo，chenThree。chenFive的最小值为新的丑数，存入ugly数组中
ugly[count]=compare( chenTwo, chenThree, chenFive);
count++;
if(count==N) //第N个丑数
return ugly[count-1];
}
}
void main(){
int N=0;
scanf("%d",&N);
clock_t start = clock();
printf("%d\n",findUgly(N));
clock_t stop = clock();
printf("耗时:%lf\n",(double)(stop - start) / CLOCKS_PER_SEC);
}
当输入N=1400时，耗时还不足0.1秒。可见算法2的速度是算法1所不能比拟的，这是用空间来换取效率的结果。
