【dp优化】LIS（最长上升子序列）长度的nlogn算法

先上一道例题：Bridging signals POJ - 1631

这道题第一反应就想到了 [CEOI96]渡轮问题 就是一个非常裸的求最长上升子序列的长度，还不要方案，非常的水。然而，常规的dp复杂度是 O(n^2) ,这道题会愉快地TLE，所以要进行nlogn级别的优化。

//O(n^2) TLE
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 40005
int n;
int a[MAXN],dp[MAXN];
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		int ans=-1;
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			dp[i]=1;
			for(int j=1;j<i;j++)
				if(a[j]<a[i])
					dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			ans=max(ans,dp[i]);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

nlogn算法

其实说实话我觉得这个算法比常规的动归思想上更暴力，就是贪心地取，然而复杂度更小。

具体就是：

• 定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k的上升子序列，则记录最小的那个最末元素。
• 枚举a[i] 对每个a[i]:若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];
• 否则，从d[1]到d[len-1]中找到一个j，满足d[j-1] < a[i]< d[j],则根据d的定义，我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素，即 d[j] = a[i];

（这里实际上就是运用了贪心的思路，d[j-1]< a[i]< d[j]的条件保证了正确性，而对于d中的每一个元素，都尽力做到最小，这样就尽可能地使a[i]>d[len]成立）

//nlogn LIS
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAXN 40005
int n;
int a[MAXN];
int d[MAXN];//长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个，记录最小
int main()
{
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%d",&n);
		int len=1;
		scanf("%d",&a[1]);
		d[1]=a[1];
		for(int i=2;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&a[i]);
			if(a[i]>d[len])
				len++,d[len]=a[i];
			else 
			{
				int pos=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
				d[pos]=a[i];
			}
		}
		printf("%d\n",len);
	}
	return 0;
}