Tour UVA - 1347【dp】

先扯两句

这道题紫书上P269-270有讲解

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分析

可以把从左到右再回来看作是：两个人同时从最左点出发，经过2条不同的路径到最右点，除了起点和终点外每一个点都恰好被一个人经过。（颇有些小学奥数的意味）

定义状态dp[i][j] 为第一个人走到i，第二个人走到j，还需要走的最短距离。但是这个状态在转移的时候有些困难，无法保证两个人不会走到相同的点，例如无法判断i+1这个点有没有被j走过。

状态定义得不好，导致转移困难。如果你发现自己的状态之间很难转移或无法约束一些条件，则更换状态定义。

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定义dp[i][j] 表示1~max(i,j)全部走过，还需要走的最短距离，且两人的位置分别是i和j

易证，dp[i][j]=dp[j] [i] 则规定j< i 这样，两个人都只能走到i+1,i+2,···（达到简化问题的目的，否则还要分类讨论，而且相同意义的状态重复计算）
但如果走到了i+2,则1~i和i+2走过，而i+1没有做过，无法用状态表示。How to deal with it? 禁止这样的操作，即dp[i][j]只能转移到dp[i+1][j]和dp[i][i+1],由于规定j< i，所以是dp[i+1][j]和dp[i+1][i]

现在考虑这么做是否会丢失解
显然是不会的，因为如果第一个人直接走到了i+2的话，那i+1就只能靠第二个人去走，而以上的情况是直接让第二个人去走。

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边界是dp[n-1][j]=dist[n-1][n]+dist[j][n] 根据定义，所有点都走过了，两人只需走到终点
答案是dist[1][2]+dp[2][1] 因为第一步一定是某一个人走到了第二个点

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状态总数有O(n^2)，每个状态的决策有2个，时间复杂度为O(n^2*)

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#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define MAXN 55

double x[MAXN],y[MAXN],dist[MAXN][MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int n;
int main()
{
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf %lf",&x[i],&y[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                dist[i][j]=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));
        for(int i=n-1;i>=2;i--)//倒着枚举保证用来转移的状态已经被计算过
            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                if(i==n-1) dp[i][j]=dist[i][n]+dist[j][n];
                else dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+dist[i][i+1],dp[i+1][i]+dist[j][i+1]);
            }
        printf("%.2lf\n",dist[1][2]+dp[2][1]);
    }
    return 0;
}