数论---整除与素数---筛法（素数筛，约数个数筛，约数和筛）
文章目录
素数定理
整数的标准分解（唯一分解）
#include<cstdio>
int p[105],w[105],k;
void factorize(int n)
{
for(int i=2;i*i<=n;i++)
if(n%i==0)
{
p[++k]=i;
while(n%i==0)
n/=i,w[k]++;
}
if(n!=1)
p[++k]=n,w[k]=1;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
factorize(n);
for(int i=1;i<k;i++)
printf("%d^%d*",p[i],w[i]);
printf("%d^%d",p[k],w[k]);
}
互质：
互质（Coprime）：两个数没有公共的因数（除1以外），则这两个数互质。
将互质的两个数分别唯一分解后，两个积式中不会出现相同的质数。
gcd与lcm
积性函数
例题 codevs6899倒数和分解
这里有个在数学上比较常用的操作 当a-n的形式出现在分母 不好操作，可以进行还原
关于“一一对应”的理解：n已知，是常数，而要使等式成立，显然不存在一个b的取值时有多个a，所以一定是一一对应的。
※筛法(Sieve Method)※
主要有两类：埃拉托斯特尼筛法（埃筛）和欧拉筛（线性筛），相对来说，欧拉筛的效率更高但理解起来相对困难一点。
埃筛
埃筛是用一个数组标记是否为素数，然后依次筛去这个素数的倍数，代码也比较好理解。
bool sieve()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
if(!vis[i])
{
prime[++pn]=i;
for(int j=i*i;j<=n;j+=i)
vis[j]=1;
}
}
值得一提的是，第11行的for循环可以从i * i开始而非i * 2（算是一个小优化）吧，因为i * 比i小的数的情况已经在之前的那个数处理过了
比如说i== 7时，可以从7 * 7开始 因为6 * 7,5 * 7的情况都已经分别在i ==6和i ==5的情况中被处理过。
时间复杂度的分析
显然，一些数被重复筛去，所以不是线性的。
筛约数个数，约数和
bool sieve()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j+=i)
d[j]++,s[j]+=i;
}
欧拉筛
在埃筛的基础上，让每一个合数都只被他的最小质因子筛去，从而减小时间。
先看一波代码
bool sieve()
{
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
prime[++pn]=i;
for(int j=1;j<=pn&&prime[j]*i<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
}
理解
关于vis[i * prime[j]]=1的理解：
这里不是乘上i的多少多少倍，而是把prime数组里面的所有质数当做i * prime[j]的最小质因子来做 也就是消去这个质数的i倍
关于if(i%prime[j]==0) break;的理解：
如果满足i%prime[j]==0，设i=prime[j]*k
那么下一次j++的时候 我们就会筛去s=prime[j+1] ＊i=prime[j+1] * prime[j] * k ，而这与我们想要让每个数都被他的最小质因子筛去的愿望不符合，因为这个数会在i=prime[j+1]*k 的时候被筛去。
综上，我们可以发现，i*prime[j]的最小质因子为prime[j]，当i%prime[j]时，由于prime数组是有序的，i的最小质因子也是prime[j]
欧拉筛求约数个数
d
(
n
)
d(n)
d(n)表示n的约数个数（约数个数函数）
我们先复习一下约数个数的计算方法
n
=
p
1
w
1
p
2
w
2
p
3
w
3
⋅
⋅
⋅
p
m
w
m
n=p_1^{w_1}p_2^{w_2}p_3^{w_3}···p_m^{w_m}
n=p1w1p2w2p3w3⋅⋅⋅pmwm
d
(
n
)
=
(
w
1
+
1
)
(
w
2
+
1
)
(
w
3
+
1
)
⋅
⋅
⋅
(
w
m
+
1
)
d(n)=(w_1+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
d(n)=(w1+1)(w2+1)(w3+1)⋅⋅⋅(wm+1)
满足
d
(
n
)
=
d
(
p
1
w
1
)
d
(
p
2
w
2
)
d
(
p
3
w
3
)
⋅
⋅
⋅
d
(
p
m
w
m
)
d(n)=d(p_1^{w_1})d(p_2^{w_2})d(p_3^{w_3})···d(p_m^{w_m})
d(n)=d(p1w1)d(p2w2)d(p3w3)⋅⋅⋅d(pmwm)，显然d(n)是积性函数
以下
i
i
i的意义与上文的欧拉筛中的
i
i
i意义相同，从2到n进行枚举 我们新定义一个
n
u
m
[
i
]
num[i]
num[i]表示i的最小质因子的次数
显然
d
[
1
]
=
1
d[1]=1
d[1]=1
分类讨论如下：
①若i是素数
d
[
i
]
=
2
d[i]=2
d[i]=2
②若
i
%
p
r
i
m
e
[
j
]
≠
0
i \%prime[j]\neq\ 0
i%prime[j]̸= 0
i不包含prime[j] i*prime[j]只含有prime[j]的一次方
我们之前已经得到了d[i] 现在加入prime[j]这个新的因子即可
d
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
d
[
i
]
∗
2
d[i*prime[j]]=d[i]*2
d[i∗prime[j]]=d[i]∗2
n
u
m
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
1
num[i*prime[j]]=1
num[i∗prime[j]]=1
③若
i
%
p
r
i
m
e
[
j
]
=
0
i \%prime[j]=0
i%prime[j]=0
i包含prime[j]的至少一次方
并且i的最小质因子就是prime[j]
相当于
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
i*prime[j]
i∗prime[j]跟
i
i
i比起来，就是多了一个最小质因子
d
[
i
]
=
(
n
u
m
[
i
]
+
1
)
(
w
2
+
1
)
(
w
3
+
1
)
⋅
⋅
⋅
(
w
m
+
1
)
d[i]=(num[i]+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
d[i]=(num[i]+1)(w2+1)(w3+1)⋅⋅⋅(wm+1)
d
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
(
n
u
m
[
i
]
+
1
+
1
)
(
w
2
+
1
)
(
w
3
+
1
)
⋅
⋅
⋅
(
w
m
+
1
)
d[i*prime[j]]=(num[i]+1+1)(w_2+1)(w_3+1)···(w_m+1)
d[i∗prime[j]]=(num[i]+1+1)(w2+1)(w3+1)⋅⋅⋅(wm+1)
所以
d
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
d
[
i
]
n
u
m
[
i
]
+
1
∗
(
n
u
m
[
i
]
+
2
)
d[i*prime[j]]=\frac{d[i]}{num[i]+1}*(num[i]+2)
d[i∗prime[j]]=num[i]+1d[i]∗(num[i]+2)
同时，不难看出num的更新：
n
u
m
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
n
u
m
[
i
]
+
1
num[i*prime[j]]=num[i]+1
num[i∗prime[j]]=num[i]+1
int d[MAXN],prime[MAXN],num[MAXN],vis[MAXN],pn;
void sieve(int n)
{
d[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++pn]=i;
num[i]=1;
d[i]=2;
}
for(int j=1;j<=pn&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
num[i*prime[j]]=num[i]+1;
d[i*prime[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i]+2);
break;
}
d[i*prime[j]]=d[i]*2;
num[i*prime[j]]=1;
}
}
}
欧拉筛求约数和
首先我们还是先复习一下约数和的计算方法
n
=
p
1
w
1
p
2
w
2
p
3
w
3
⋅
⋅
⋅
p
m
w
m
n=p_1^{w_1}p_2^{w_2}p_3^{w_3}···p_m^{w_m}
n=p1w1p2w2p3w3⋅⋅⋅pmwm
s
(
n
)
=
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
)
(
1
+
p
2
+
p
2
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
2
w
2
)
(
1
+
p
3
+
p
3
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
3
w
3
)
⋅
⋅
⋅
(
1
+
p
m
+
p
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
m
w
m
)
s(n)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})(1+p_3 +p_3^2+···+p_3^{w3})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(n)=(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)(1+p3+p32+⋅⋅⋅+p3w3)⋅⋅⋅(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)
这个也非常好理解 我们如果把它们全部乘开，那么这个多项式的每一项都是n的一个约数
s(n)满足 s ( n ) = s ( 1 + p 1 + p 1 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p 1 w 1 ) s ( 1 + p 2 + p 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p 2 w 2 ) s ( 1 + p 3 + p 3 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p 3 w 3 ) ⋅ ⋅ ⋅ s ( 1 + p m + p m 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + p m w m ) s(n)=s(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})s(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})s(1+p_3 +p_3^2+···+p_3^{w3})···s(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm}) s(n)=s(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)s(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)s(1+p3+p32+⋅⋅⋅+p3w3)⋅⋅⋅s(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)，显然s(n)也是积性函数
同上，仍然定义以下
i
i
i的意义与上文的欧拉筛中的
i
i
i意义相同，从2到n进行枚举 我们新定义一个
p
s
u
m
[
i
]
psum[i]
psum[i]表示关于i的最小质因子p的等比数列求和式
1
+
p
+
p
2
+
p
3
+
⋅
⋅
⋅
+
p
w
1+p+p^2+p^3+···+p^w
1+p+p2+p3+⋅⋅⋅+pw
显然
s
[
1
]
=
1
s[1]=1
s[1]=1
分类讨论如下：
①若i是素数 ，显然：
s
[
i
]
=
i
+
1
,
p
s
u
m
[
i
]
=
i
+
1
s[i]=i+1,psum[i]=i+1
s[i]=i+1,psum[i]=i+1
②若
i
%
p
r
i
m
e
[
j
]
≠
0
i \%prime[j]\neq\ 0
i%prime[j]̸= 0
则i不包含
p
r
i
m
e
[
j
]
prime[j]
prime[j] ，同上，
p
r
i
m
e
[
j
]
prime[j]
prime[j] 一定是
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
i∗prime[j]
i∗prime[j]的最小质因子
s
(
i
)
=
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
)
(
1
+
p
2
+
p
2
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
2
w
2
)
⋅
⋅
⋅
(
1
+
p
m
+
p
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
m
w
m
)
s(i)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(i)=(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)⋅⋅⋅(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)
s
(
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
)
=
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
)
(
1
+
p
2
+
p
2
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
2
w
2
)
⋅
⋅
⋅
(
1
+
p
m
+
p
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
m
w
m
)
∗
(
1
+
p
r
i
m
e
[
j
]
)
s(i*prime[j])=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})*(1+prime[j])
s(i∗prime[j])=(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)⋅⋅⋅(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)∗(1+prime[j])
则
s
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
s
[
i
]
∗
(
1
+
p
r
i
m
e
[
j
]
)
s[i*prime[j]]=s[i]*(1+prime[j])
s[i∗prime[j]]=s[i]∗(1+prime[j])
p
s
u
m
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
p
r
i
m
e
[
j
]
+
1
psum[i*prime[j]]=prime[j]+1
psum[i∗prime[j]]=prime[j]+1
③若
i
%
p
r
i
m
e
[
j
]
=
0
i \%prime[j]=0
i%prime[j]=0
同上分析（和求约数个数的分析一样）
s
(
i
)
=
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
)
(
1
+
p
2
+
p
2
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
2
w
2
)
⋅
⋅
⋅
(
1
+
p
m
+
p
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
m
w
m
)
s(i)=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(i)=(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)⋅⋅⋅(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)
s
(
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
)
=
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
+
p
1
w
1
+
1
)
(
1
+
p
2
+
p
2
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
2
w
2
)
⋅
⋅
⋅
(
1
+
p
m
+
p
m
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
m
w
m
)
s(i*prime[j])=(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1}+p_1^{w1+1})(1+p_2+p_2^2+···+p_2^{w2})···(1+p_m+p_m^2+···+p_m^{wm})
s(i∗prime[j])=(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1+p1w1+1)(1+p2+p22+⋅⋅⋅+p2w2)⋅⋅⋅(1+pm+pm2+⋅⋅⋅+pmwm)
对比观察这两个式子：
s
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
s
[
i
]
/
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
)
∗
(
1
+
p
1
+
p
1
2
+
⋅
⋅
⋅
+
p
1
w
1
+
p
1
w
1
+
1
)
s[i*prime[j]]=s[i]/(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1})*(1+p_1+p_1^2+···+p_1^{w1}+p_1^{w1+1})
s[i∗prime[j]]=s[i]/(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1)∗(1+p1+p12+⋅⋅⋅+p1w1+p1w1+1)
即：
s
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
s
[
i
]
p
s
u
m
[
i
]
∗
(
p
s
u
m
[
i
]
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
+
1
)
s[i*prime[j]]=\frac{s[i]}{psum[i]}*(psum[i]*prime[j]+1)
s[i∗prime[j]]=psum[i]s[i]∗(psum[i]∗prime[j]+1)
p
s
u
m
[
i
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
]
=
p
s
u
m
[
i
]
∗
p
r
i
m
e
[
j
]
+
1
psum[i*prime[j]]=psum[i]*prime[j]+1
psum[i∗prime[j]]=psum[i]∗prime[j]+1
写程序的时候可以先更新psum 再算（调整一下顺序 看起来简洁一些）
#include<cstdio>
#define MAXN 1005
int s[MAXN],prime[MAXN],psum[MAXN],pn;
bool vis[MAXN];
void sieve(int n)
{
s[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!vis[i])
{
prime[++pn]=i;
psum[i]=s[i]=i+1;
}
for(int j=1;j<=pn&&i*prime[j]<=n;j++)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0)
{
psum[i*prime[j]]=psum[i]*prime[j]+1;
s[i*prime[j]]=s[i]/psum[i]*psum[i*prime[j]];
break;
}
s[i*prime[j]]=s[i]*(prime[j]+1);
psum[i*prime[j]]=1+prime[j];
}
}
}
int main()
{
}
以下非战斗人员请撤离
完结撒花
这篇文章写了我好久啊 数论的版块确实需要多加思考
（说得好像其他版块就不需要多加思考似的（大雾
好吧 确实值得推敲的地方比较多 虽然想的时间长了点 但也还是值得
（我扯来扯去都扯了些什么啊）
水调数声持酒听。午醉醒来愁未醒。送春春去几时回。临晚镜。伤流景。往事后期空jx。
沙上并禽池上暝。云破月来花弄影。重重帘幕密遮灯，风不定。人初静。明日落红应满径。
少年何妨梦摘星，敢挽桑弓射玉衡。
