【模板】LCA的倍增算法
在线算法
和st表求区间最值类似
暴力求区间最值需要一个一个比较
暴力求lca需要一步一步爬树
st表用倍增比较一段和一段间的最值
启发我们求lca也用倍增，一次向上爬
2
i
2^i
2i个点
设
f
(
i
,
j
)
f(i,j)
f(i,j)表示点i向上跳
2
j
2^j
2j步之后的点
边界：
f
(
i
,
0
)
=
f
a
[
i
]
f(i,0)=fa[i]
f(i,0)=fa[i] （表示向上跳一步的点）
转移：跳
2
j
2^j
2j步，先跳
2
j
−
1
2^{j-1}
2j−1步，再跳
2
j
−
1
2^{j-1}
2j−1步
f
(
i
,
j
)
=
f
(
f
(
i
,
j
−
1
)
,
j
−
1
)
f(i,j)=f(f(i,j-1),j-1)
f(i,j)=f(f(i,j−1),j−1)
先调整u,v到同一深度（深的点向上爬）
不过别一步一步爬，用f数组向上跳
再让u,v一起向上跳
从大到小枚举j，试图让u和v向上跳2^j步，如果u和v将要跳到同一个点，就不跳（因为可能跳到lca的上面），否则就爬树
最后向上爬一步就是lca，时间复杂度O(logn)
这张图看起来好像到处都是 我也贴一下吧
例题&板子 传送门：poj 1986
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 50005
struct node{
int v,w;
};
int n,m;
vector<node>G[MAXN];
int dis[MAXN],dep[MAXN],f[MAXN][20];
//f[i][j]:点i向上跳2^j步之后的点
void Init()
{
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++)//内外层的顺序主要是因为更新时j是由小到大来的，而i(f[i][j-1])相对不确定
for(int i=1;i<=n;i++)//而如果用j为外层 那么也是可以保证i(f[i][j-1])已经被更新
if(f[i][j-1]!=-1)
f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
return ;
}
void swp(int &a,int &b)
{
int t=a;
a=b;
b=t;
return ;
}
void dfs(int u,int p,int d)
{
dep[u]=d;
for(int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v=G[u][i].v,w=G[u][i].w;
if(v==p) continue;
f[v][0]=u;
dis[v]=dis[u]+w;
dfs(v,u,d+1);
}
}
int LCA(int u,int v)
{
if(dep[u]<dep[v])
swp(u,v);//u的深度更深
int k=0;
while((1<<k)<=dep[u])//j的范围
k++;
k--;
//较深的那一个点爬到与另一个点相等的深度
for(int j=k;j>=0;j--)
if(dep[u]-(1<<j)>=dep[v])
u=f[u][j];
while(dep[u]>dep[v])
u=f[u][0];
if(u==v) return u;
for(int j=k;j>=0;j--)
{
if(f[u][j]!=f[v][j]&&f[u][j]!=-1&&f[v][j]!=-1)
u=f[u][j],v=f[v][j];
}
return f[u][0];
}
int ans(int u,int v)
{
return dis[u]+dis[v]-2*dis[LCA(u,v)];
}
int main()
{
scanf("%d %d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d %d %d %*s",&u,&v,&w);
node t;t.v=v,t.w=w;
G[u].push_back(t);
t.v=u,G[v].push_back(t);
}
memset(f,-1,sizeof(f));//-1的状态即为不合法的状态(比方说，跳出去了
dfs(1,-1,0);
Init();//倍增 处理f函数
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
int u,v;
scanf("%d %d",&u,&v);
printf("%d\n",ans(u,v));
}
return 0;
}
然后就是 倍增的思想可以解决一些树上路径问题，而之前的RMQ的方法却不能解决
