BSGS 大步小步算法 求解高次同余方程【模板】

$BabyStepGiantStep$ 算法，缩写为$BSGS$，即大步小步算法，，拔山盖世算法

用于求解同余方程 $a^x\equiv b(modp)$ ,其中$(a,p)=1$

首先，我们可以先分析一下$x$的范围（这个地方我觉得网上很多题解都没有讲到，只是列出了范围而已，或许在dalao们眼中这个是显而易见的 ）

由于$(a,p)=1$，由费马小定理可得：$a^{p-1}\equiv 1(modp)$，而$a^0\equiv 1(modp)$，所以解的循环节小于$p$，那么，如果选择暴力枚举的话，就应该从0到$p-1$进行枚举，依次验证。

但是如果$p$的范围比较大的话，就凉凉了，此时BSGS就应运而生

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令$t=\lfloor \sqrt{p}\rfloor$
将$x$表示为$x=i\ast t-j$，$0\le i\le t$，$0\le j\le t$
那么$a^{i\ast t-j}\equiv b(modp)$
两边同乘以$a^j$得$a^{i\ast t}\equiv b\ast a^j(modp)$
$(a^t{)}^i\equiv b\ast a^j(modp)$

先枚举$j,0\le j\le t$，把$b\ast a^{j}modp$插入到Hash表中
再枚举$i,0\le i\le t$，在Hash表中查$(a^t{)}^{i}modp$的值是否存在于Hash表中，若存在，则找到了一个解为$x=i\ast t-j$
如果枚举完之后找不到，则方程无解

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例题&板子：$POJ2417DiscreteLogging$
传送门：POJ2417
$B^L==N(modP）$求解最小的L

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
LL a,b,p;
map<int,int> Hash;
map<int,bool> vis;
LL Pow(LL x,LL y)
{
	LL ans=1;
	while(y>0)
	{
		if(y&1) ans=(ans*x)%p;
		x=(x*x)%p;
		y>>=1;
	}
	return ans;
}
void Init()
{
	Hash.clear();
	vis.clear();
}
LL BSGS()
{
	Init();
	LL t=sqrt(p);
	b%=p;
	for(int j=0;j<=t;j++)
	{
		LL tmp=b*Pow(a,j)%p;
		Hash[tmp]=j;
		vis[tmp]=1;
	}
	a=Pow(a,t);
	for(int i=0;i<=t;i++)
	{
		LL tmp=Pow(a,i);
		if(vis[tmp])
		{
			int j=Hash[tmp];
			if(j>=0&&i*t-j>=0)
				return i*t-j;
		}
	}
	return -1;
}
int main()
{
	while(~scanf("%lld %lld %lld",&p,&a,&b))
	{//a^x%p==b%p
		LL ans=BSGS();
		if(ans==-1) printf("no solution\n");
		else printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}