【（有趣的）区间dp】取数游戏 纪中集训

Description

Alice想让Bob陪他去看《唐山大地震》，但由于Bob是个很感性的人，怕流泪不想去，但又不好意思以这个作为拒绝的理由，便提出玩一个游戏。
　　N个正整数围成一圈，规则如下：
　　•两个玩家轮流取数；
　　•最开始先手的玩家可以取任意一个数x；
　　•从第二步开始当前玩家只能取x（上一玩家刚刚取的数）左右两边相邻的数；
　　•直到取完所有的数，游戏结束；
　　•取得较多奇数的玩家获胜。
　　Bob为了显示大度，让Alice先取，但他忘了自己和Alice都是绝顶聪明之人，现在Alice请你帮他计算第一步有多少种取法使得最终获得胜利。

Input

第一行包含一个整数N(1<=N<=100)，表示数的个数。第二行包含N个正整数，每个数都在1到1000之间，任意两个数互不相同。

Output

输出Alice第一步有多少种取法。

Sample Input

输入1：
3
3 1 5

输入2：
4
1 2 3 4

输入3：
8
4 10 5 2 9 8 1 7

Sample Output

输出1：
3

输出2：
2

输出3：
5

---

part1：
爆搜 考场上漏洞百出 下来至今没有改出来 还是既WA又T

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 105
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int n,a[MAXN],ans;
bool vis[MAXN];
bool dfs(int i,int tot,int A,int B,bool f/*0->A 1->B*/)
{
	bool rt=0;
	//printf("%d\n",i);
	if(tot==n)
	{
		//printf("%d %d\n",A,B); 
		if(A>B)
			return 1;
		return 0;
	}
	int j=i-1;if(j<1) j=n;
	while(vis[j])
	{
		j--;
		if(j<1) j=n;
	}
	vis[j]=1;
	if(f) rt=dfs(j,tot+1,A+a[j],B,!f);
	else rt=dfs(j,tot+1,A,B+a[j],!f);
	vis[j]=0;//回溯
	if(rt==1) return 1; 
	//----
	j=i+1;if(j>n) j=1;
	while(vis[j])
	{
		j++;
		if(j>n) j=1;
	}
	vis[j]=1;
	if(f) rt=dfs(j,tot+1,A+a[j],B,!f);
	else rt=dfs(j,tot+1,A,B+a[j],!f);
	vis[j]=0;
	if(rt==1) return 1;
	else return 0;
}
int main() 
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]%=2;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		vis[i]=1;
		if(dfs(i,1,a[i],0,0))
			ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

part2：
神奇dp 反正我是绝对想不出来这么高能的dp
定义$dp[i][j]$表示可以取第i个和第j个时(i,j在此状态下相邻),先手可以取的奇数个数和后手可取的数量之差的最大值(max(先-后))。

可以选i或j 取了一次之后先手变后手 所以转移为：
$$dp[i][j]=max(a[i]\%2-f[i-1][j],a[j]\%2-f[i][j+1])$$
减去表示操作之后，先手变后手，后手变先手，而每个人都是按照最优策略进行游戏的，恰好$dp$数组也可以表示对于当前操作者的最优状态，所以可以直接减。

dp[i][j]转移需要的区间都比它长，所以长度从大到小枚举
画图体会一下：

橙色的线是当前被转移的状态$dp[i][j]$的长度，红色和蓝色表示分别选择$i$和$j$之后的状态的长度。

另外get一个新技能：
根据周期性 数$i$在1~n的范围外，"映射"到长度为$n$的区间内，它应该是第$(i+n-1)\%n+1$个

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define MAXN 105
int n,dp[MAXN][MAXN],a[MAXN];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		a[i]%=2;
	}	
	for(int len=n;len>=1;len--)//保证区间长度递减 
		for(int i=1;i<=n;i++)//这一层的顺序无所谓 
		{
			int j=(i+len+n-1)%n+1;
			dp[i][j]=max(a[i]-dp[(i-1+n-1)%n+1][j],a[j]-dp[i][(j+1+n-1)%n+1]);
		}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(a[i]-dp[(i-1+n-1)%n+1][(i+1+n-1)%n+1]>0)//先手取a[i],后手变成先手
	//注意要写>0 否则负数在if里面会判为真(非零) 
			ans++;
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}