AC自动机原理【学习笔记】

概述

$AC$自动机是以$Trie$为结构基础，$kmp$为思想基础建立的，主要用于多模式串匹配。

在$AC$自动机上，所有的模式串构成一棵$Trie$树，而且利用$kmp$的思想，在$Trie$上构造失配指针。

$Trie$上的结点表示的是某个模式串的前缀，相当于一种状态，而$Trie$上的边就相当于是状态的转移。

$fail$指针

先把所有的模式串放到$Trie$，举例如下：

假如说现在要匹配的文本串是$ABCD$,我们去树上匹配，会经过$2,3,4$号节点匹配到模式串$ABC$，然后就不能继续匹配。

如果接下来重新从根结点开始，复杂度会很高，我们可以借用$kmp$的思想，跳到$7$去，$7$就是$4$的失配指针。

More officially，$fail$指针指向 / 模式串的前缀中 / 匹配 / 当前状态的最长后缀。（断句要断好）
也就是说，$i$的失配指针$j$，满足$root->j$是$root->i$的一个后缀，而且是所有满足$root->i=root->j_x$中最大的那一个$j_x$。
$9$号点也满足条件，但是那里不是最长后缀，所以我们不跳到那里去。

下面是$fail$的求法：
设$Trie$上当前的节点是$u$，$u$的父亲是$p$，$trie[p][c]=u$。
假设深度小于$u$的所有结点的$fail$指针都已经求过。

1.$trie[fail[p]][c]$存在，那么$fail[u]=trie[fail[p]][c]$。$p$的最长后缀的位置在$fail[p]$，在$fail[p]$的位置再加一个字符$c$就一定$u$的最长后缀的位置，因为只在一个确定的串后面加上一个字符而已。
2.如果$trie[fail[p]][c]$不存在，那么就要一直跳$fail$指针（反复横跳），找$trie[fail[fail[p]]][c]$，直到它存在，然后重复1.
3.如果真的不存在，那么把$fail$指向根。

具体可以用$bfs$实现（有假设深度小于$u$的所有结点的$fail$指针都已经求过) ，不过实现和刚才的思考过程是反的。
$tr[u][c]$可以理解为字典树上的一条边，也可以理解为一种状态转移，表示$u$加上一个字符$c$达到的状态。

代码实际上修改了$Trie$的结构，但是使得匹配转移更加完善。它将 fail 指针跳转的路径做了压缩（就像并查集的路径压缩），使得本来需要跳很多次$ail$针变成跳一次。

匹配函数

$fail$是最难的部分，$fail$理解之后求答案就水到渠成了吧。

时间复杂度

【参考：OIwiki】