CF1228E Another Filling the Grid【容斥】

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题目解析

刚开始的思路：我先钦定好，给每行每列一个家$1$，其它随便选，一共$n!k^{(n^2-n)}$

但是会有重复，考虑去重。我们还是先给每行每列一个家，但是后面那个不能随便选，我们枚举一些行，一些列，然后让它们随便选，剩下的不能随便选，发现这样也有重复，所以考虑容斥。

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看了题解之后发现一个更自然的想法。

我们可以用总方案数减去不合法的方案数。现在考虑不合法的方案长啥样。还是按照钦定多少行/多少列有无$1$的思路来，我们先减去“有一行/列（第$i$行/列）没有$1$，其它随便选”，而这个方案和“有两行/两列/一行一列没有$1$，其它随便选”有重叠，所以把这样的方案加回来，而上个方案数也有重叠，我们又多加了一次“有三行/三列/两行一列/一行两列没有$1$，其它随便选”，所以这还是个容斥。

我们把总方案数看成“钦定$0$行$0$列没有$1$，其它随便选”，于是可以合并在容斥式子里：

$ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nC_n^iC_n^j(k-1)^{n(i+j)-ij}k^{n^2-ni-nj+ij}$

先无序选出$i$行$j$列，这$i$行$j$列上的数除了$1$以外随便选，剩下的格子可以随便选。

其实还可以用二项式定理优化，还有$dp$写法，但是咕咕咕~

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►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
#define N 260
#define MOD 1000000007
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define LL long long
LL rd()
{
	LL x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar();}
	return f*x;
}
int n;
LL k;
LL fac[N],inv[N];
LL ksm(LL a,LL b)
{
	LL res=1ll;
	while(b)
	{
		if(b&1) res=res*a%MOD;
		a=a*a%MOD;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
void Init()
{
	fac[0]=1,inv[0]=1;
	for(int i=1;i<=N-5;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	inv[N-5]=ksm(fac[N-5],MOD-2);
	for(int i=N-6;i>=1;i--)
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;
}
LL C(int a,int b)
{
	return fac[a]*inv[a-b]%MOD*inv[b]%MOD;
}

int main()
{
	n=rd(),k=rd();
	Init();
	LL ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=n;j++)
		{
			LL res=C(n,i)*C(n,j)%MOD;
			res=res*ksm(k-1,n*(i+j)-i*j)%MOD*ksm(k,(n-i)*(n-j))%MOD;
			if((i+j)&1) ans=(ans-res+MOD)%MOD;
			else ans=(ans+res)%MOD;//忘了写else可还行 调了20min 
		}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}