CF1192B/CEOI2019 动态直径 Dynamic Diameter【欧拉序-线段树】

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题目解析

唔，首先有一个比较显然的大概是$nq$级别复杂度的做法，就是暴力修改，然后$dfs$两次算出直径。

（不过这没有什么用就是了

因为有修改，我们尝试把树下下来，放到序列上，用线段树维护。

树链剖分？

不，太麻烦喏，我们知道欧拉序这个东西是可以办到的，并且我们之前就用它的性质求过$lca$：两个点对应的欧拉序区间中，深度最小的点就是这两个点的$lca$。

具体而言，设$u$在欧拉序中第一次出现的位置为$l$，$v$在欧拉序中第一次出现的位置为$r$，欧拉序数组为$E[]$，那么$lca=E[x],l<=x<=r,dep[E[x]]<=dep[E[l...r]]$

如果不知道这个结论可以看看 这个

那么$dist(u,v)=dis[u]+dis[v]-2\times dis[lca]$，$dis[i]$指从$1$到$i$的距离。

根据定义，树的直径是所有点对$dist$的最大值

如果用线段树维护（相当于是线段树维护与欧拉序数组对应的点的$dis$，长度为$2n-1$，完成把树变成序列的任务），那对于区间$[l,r]$的答案长这个样子：

$max\{dis[i]+dis[j]-2\times dis[lca(i,j)]\},l<=i<=j<=r$

我们注意到$lca$对于$i,j$来说是一个$rmq$问题，那......线段树套线段树？

没有必要。

具体到这道题而言，由于边权都是正数，所以$lca$也是$dis$最小的那个点，所以可以把答案化为这个样子：

$max\{dis[i]+dis[j]-2\times dis[k] \},l<=i<=k<=j<=r$

因为$dis$前面是负号，所以让这个值取$max$的那个位置一定是$dis[k]$最小的那个点，所以可以不用再维护$[i,j]$之间的最小值，而是在维护上述答案的时候自然就处理了（我感觉这里网上很多题解都没有说清楚，我看了好久）

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接下来考虑怎么维护上述答案，主要是要便于区间合并。

我们可以把答案看成三部分：$dis[i],dis[j],-2\times dis[k]$

对于每个区间，维护：

$mx=max(dis[i]),l<=i<=r$

$mn=min(dis[i]),l<=i<=r$，（主要是为了$-2\times dis[k]$，维护$max(-dis[i])$也可

$res=max\{dis[i]+dis[j]-2\times dis[k] \},l<=i<=k<=j<=r$

为了方便左右儿子合并，也就是$i,j$可以来源于左右不同儿子，合在一起是一个更优的答案，我们还需要维护以下信息：

$rmx=max(dis[i]-2\times dis[j]),i<=j$，这个可以看成我们还需要在右边找一个右端点来组成答案。

同理，$lmx=max(dis[i]-2\times dis[j]),i<=j$

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然后维护线段树：

$t.mx=max(lc.mx,rc.mx)$

$t.mn=min(lc.mn,rc.mn)$

$t.res=max(max(lc.res,rc.res),max(lc.rmx+rc.mx,rc.lmx+lc.mx))$

$t.rmx=max(max(lc.rmx,rc.rmx),lc.mx-2rc.mn)$

$t.lmx=max(max(lc.lmx,rc.lmx),rc.mx-2lc.mn)$

最后查询的时候是查询整棵树的直径，所以不用写$query$

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修改的时候，答案只会对这条边深度较大的点的子树的答案产生影响，所以对子树进行更新即可（子树在欧拉序中是连续一段区间

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►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 200005
#define M 200005
#define MOD 998244353
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
LL rd()
{
	LL x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar();}
	return f*x;
}
struct edge{
	int nxt,v;LL w;
}e[M<<1];
int hd[N],cnt=1;
void add(int u,int v,LL w)
{
	e[++cnt].nxt=hd[u];
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	hd[u]=cnt;
}

struct node{
	LL res/*直径*/,mx/*dis最大*/,mn/*dis最小*/;
	LL rmx/*dis_i-2dis_j(i<=j)的最大值 差一个右端点*/,lmx/*同理 dis_i-2dis_j(i>=j)的最大值*/;
}tree[N<<2];
LL tag[N<<2];
int n,Q;
LL W;
LL dis[N];
int E[N<<1],tim;//欧拉序 
int d1[N],d2[N];//出去进来的时间 即点i在欧拉序中的最左/最右位置 
void dfs(int u,int fa)
{
	E[++tim]=u;
	d1[u]=tim;
	for(int i=hd[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].v;LL w=e[i].w;
		if(v==fa) continue;
		dis[v]=dis[u]+w;
		dfs(v,u);
		E[++tim]=u;
	}
	d2[u]=tim;
}
node Merge(node x,node y)
{
	node t;
	t.mx=max(x.mx,y.mx);
	t.mn=min(x.mn,y.mn);
	t.rmx=max(max(x.rmx,y.rmx),x.mx-2*y.mn);
	t.lmx=max(max(x.lmx,y.lmx),y.mx-2*x.mn);
	t.res=max(max(x.res,y.res),max(x.mx+y.lmx,y.mx+x.rmx));
	return t;
}
void PushUp(int i)
{
	tree[i]=Merge(tree[i<<1],tree[i<<1|1]);
}
void Build(int i,int l,int r)
{
	if(l==r)
	{
		int u=E[l];
		tree[i].mx=tree[i].mn=dis[u];
		tree[i].rmx=tree[i].lmx=-dis[u];//dis_u-2*dis_u=-dis_u
		tree[i].res=0;//一个点不能构成直径
		tag[i]=0;
		return ;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	Build(i<<1,l,mid);
	Build(i<<1|1,mid+1,r);
	PushUp(i);
	return ;
}
void Modify(int i,LL val)
{
	tree[i].mx+=val,tree[i].mn+=val;
	tree[i].lmx-=val,tree[i].rmx-=val;//delta=(dis_i-val)-2*(dis_j-val)-(dis_i-2*dis_j)
	tag[i]+=val;
}
void PushDown(int i)
{
	if(tag[i])
	{
		Modify(i<<1,tag[i]);
		Modify(i<<1|1,tag[i]);
		tag[i]=0;
	}
}
void Update(int i,int l,int r,int ql,int qr,LL val)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
	{
		Modify(i,val);
		return ;
	}
	PushDown(i);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) Update(i<<1,l,mid,ql,qr,val);
	if(qr>mid) Update(i<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
	PushUp(i);
}
int main()
{
	n=rd(),Q=rd(),W=rd();
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		int u=rd(),v=rd();LL w=rd();
		add(u,v,w);
		add(v,u,w);
	}
	dfs(1,0);
	Build(1,1,tim);
	LL ans=0;
	while(Q--)
	{
		int id=rd(),u;LL d=rd();
		id=(id+ans)%(n-1)+1;
		d=(d+ans)%W;
		if(dis[e[id<<1].v]<dis[e[id<<1|1].v]) id=(id<<1|1),u=e[id].v;
		else id=(id<<1),u=e[id].v;
		Update(1,1,tim,d1[u],d2[u],d-e[id].w);
		e[id].w=e[id^1].w=d;
		ans=tree[1].res;
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}
/*
修改是给的边的编号 这个时候还是写前向星好一点吧
(怎么感觉vector一无是处了qwq 
*/