最小乘积生成树

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题目解析

想法还是比较难想到的。

把每棵生成树的 $\sum a_e$ 和 $\sum b_e$ 看成点对 $(x,y)$ ，于是答案是 $k=x\times y$ 最小的点对。由于边权都是非负数，所以可以看成是离坐标轴最近的反比例函数的系数。

怎么求这个点呢？

首先，分别找到离 $x$ 轴， $y$ 轴最近的点

这个可以分别以 $a_e,b_e$ 作为边权，求 $MST$

不妨设离 $x$ 轴最近的点是 $A$ ，离 $y$ 轴最近的点是 $B$

然后，找到一个在 $AB$ 左下方，并且离 $AB$ 最远的点 $C$

可以等价为 $S_ΔABC$ 最大，因为底为 $AB$ 是定值，三角形面积越大，高越大，而高就是距离。

根据叉乘的几何意义， $S_ΔABC=\frac{|\vec{AB}\times\vec{AC}|}{2}$

注意到 $\vec{AB}\times\vec{AC}$ 是负数：（我还想了很久为啥它是负数，我一直以为叉乘顺序不一样（旋转方向不一样）只会影响最后生成的向量的方向（右手螺旋定理），但注意这里是有向面积）

如果是 $\vec{AB}\times\vec{AC}$ ，那么就是 $\vec{AB}$ 逆时针转到 $\vec{AC}$ ，转了优角，所以 $sinθ<0$ ，所以 $\vec{AB}\times\vec{AC}=|\vec{AB}|\times|\vec{AC}|\times sinθ<0$

反之，如果是 $\vec{AC}\times\vec{AB}$ ，就是 $\vec{AC}$ 逆时针转到 $\vec{AB}$ ，转了劣角，所以乘出来 $>0$

（图片来自于网络）

所以 $S_ΔABC=-\frac{\vec{AB}\times\vec{AC}}{2}$ ，要最大化 $S_ΔABC$ ，只需要最小化 $\vec{AB}\times\vec{AC}$

根据叉乘的坐标表达形式： $\vec{AB}\times\vec{AC}\\=(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)\\ =(x_B-x_A)y_C+(y_A-y_B)x_C-(x_B-x_A)y_A+(y_B-y_A)x_A$

后面是常数，所以要最小化 $(x_B-x_A)y_C+(y_A-y_B)x_C$ ， $x_C,y_C$ 是生成树的 $\sum$ ，所以把边权赋成 $(x_B-x_A)b_e$ 和 $(y_A-y_B)a_e$ ，然后求 $MST$ 就可以得到 $C$ 的坐标，用 $C$ 的坐标更新答案。

递归AC,BC

把 $AC,BC$ 拿去重复上述操作，递归处理，不断得到一个新的 $C$ ，更新答案。

直到算出来的 $C$ 满足 $\vec{AB}\times\vec{AC}$ ，说明转过火了，这个时候的 $C$ 在 $AB$ 上方，结束递归。

~~点的编号居然是从 $0$ 开始的，差评（雾~~

►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 205
#define M 10005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f*x;
}
int n,m,f[N];
struct node{
	int u,v,a,b,w;
}e[M];
struct Point{
	int x,y;
};
Point ans;
int Cross(Point p,Point q)
{
	return p.x*q.y-p.y*q.x;
}
bool cmp(node p,node q)
{
	return p.w<q.w;
}
void Init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		f[i]=i;
}
int Find(int x)
{
	if(f[x]==x) return x;
	return f[x]=Find(f[x]);
}
bool Union(int u,int v)
{
	u=Find(u),v=Find(v);
	if(u==v) return 0;
	if(u<v) f[u]=v;
	else f[v]=u;
	return 1;
}
Point Kruskal()
{
	Point res; res.x=0,res.y=0;
	Init();
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!Union(e[i].u,e[i].v)) continue;
		res.x+=e[i].a,res.y+=e[i].b;
		cnt++;
		if(cnt==n-1) break;
	}
	LL ret=1ll*ans.x*ans.y,now=1ll*res.x*res.y;
	if(now<ret||(now==ret&&res.x<ans.x)) ans=res;
	return res;
}
void solve(Point A,Point B)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
		e[i].w=(B.x-A.x)*e[i].b+(A.y-B.y)*e[i].a;
	Point C=Kruskal();
	Point D,E;
	D.x=B.x-A.x,D.y=B.y-A.y;
	E.x=C.x-A.x,E.y=C.y-A.y;
	if(Cross(D,E)>=0) return ;
	solve(A,C);
	solve(C,B);
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		e[i].u=rd()+1,e[i].v=rd()+1,e[i].a=rd(),e[i].b=rd();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		e[i].w=e[i].a;
	ans.x=INF,ans.y=INF;
	Point A=Kruskal();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		e[i].w=e[i].b;
	Point B=Kruskal();
	solve(A,B);
	printf("%d %d\n",ans.x,ans.y);
	return 0;
}