【学习笔记】欧拉路Hierholzer算法-UOJ117 欧拉回路

（其实我不会念这个算法的名字

题目链接

题目解析

我如果说我现在才会欧拉路还有救吗

毕竟我关于欧拉路径的题只做过这个-骑马修栅栏，其他时候最多做到过判断是否是欧拉路的题，并没有输出方案过

考试的时候脑子里完全没有蹦出来这四个字过，然后自己在那儿瞎写（从零开始自己推这个算法，不过我这么菜当然是没有成功，于是成功挂掉）

咳咳

网上好多博客都将欧拉路径和欧拉回路混为一谈呐，但实际上是有区别的，欧拉路径是一条经过图中每一条边恰好一次的路径，而欧拉回路要求这条路径是个回路。显然，欧拉回路的要求要高一些，两者的判断条件也有所不同。

判断条件

• 欧拉回路

  1. 无向图：所有点的度数都是偶数。
  2. 有向图：所有点出度等于入度。

• 欧拉路径

  1. 无向图：相比欧拉回路，可以看成有一个起点，一个终点，即可以有两个点的度数是奇数，开始搜索时，起点为其中一个奇点（七桥问题
  2. 有向图：同理，相比欧拉回路，可以看成有一个起点，一个终点，即可以有一个起点是出度=入度+1，一个终点是入度=出度+1
  3. 注意欧拉回路是欧拉路径的一种特殊情况，即要注意考虑没有奇点/所有点出入度都相同的情况。

算法主体

从起点开始搜索，走过一条边时，先递归到下一个结点去，然后再把这条边压到栈中。

因为之前已经判断过这个图是否有欧拉路径，所以可以大胆走，不要害怕出状况，是一定可以绕圈圈绕回来的，而且挨个把邻接边全部搜完，是不会有圈圈搜不到的情况的。

可以想象一下，类比一下\(dfs\)树，其实差不多。

画个图吧：

一时手边没啥好用的画图软件，将就看吧

所以一次\(dfs\)就可以完成了（真的很简单，我为啥之前不会捏

（所以我看了网上好多博客用了两个栈一出一进的，搞得我很头大

当前弧优化

现在的这个算法其实还不够优秀，因为虽然边只会经过一次，但是点却可以经过很多次，而每次回到这个点，你每次都会枚举到所有的边，然后发现它不太对劲（已经枚举过），然后\(continue\)掉，而这些枚举都是无用的。

我们要避免这些无用枚举，所以可以像网络流那样加个当前弧优化，就是记录下来你现在枚到哪条边了，下一次就不要枚举那些已经跑过的边了。而我的做法就比较简单粗暴了：因为每条边只跑一次，所以把跑过的边丢掉就好了。

我其实平时不咋用链式前向星的，一般用\(vector\)，但是我不知道用\(vector\)怎么写当前弧优化（我尝试过用倒序遍历然后\(pop\_back\)，但是我失败了，而且是\(TLE\)（代码我放在后面了），估计是因为：它本来是在后面的搜索中才回到当前节点时会遍历掉一些边，那么回溯到之前的一次进入这个节点时，这些边也不需要遍历。而我的写法只能在第二次进入这个节点时，节约掉枚举的那些边，而我的第一次进去的时候就是从所有边开始\(for\)，这个地方并没有优化到。

（\(I\ suppose\ so,but\ I\ possess\ no\ evidence.\)

不过用前向星也挺好的（我网络流也是因为这个原因写的前向星

不过在我写完板子之后被安利了机房大佬的博客，他就是用\(vector\)写的：Lskr同学的blog

（不过我懒得改了

---

►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 100005
#define M 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f*x;
}
struct node{
	int v,nxt,w/*边的编号*/;
}edge[M<<1];
int hd[N],cnt=1;//方便找反向边(异或1 
void add(int u,int v,int w)
{
	edge[++cnt].v=v;
	edge[cnt].w=w;
	edge[cnt].nxt=hd[u];
	hd[u]=cnt; 
}

int T,m,n;
int fa[N],d[N],ind[N],st[N*10],tot;
void Init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
}
int Find(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(int u,int v)
{
	u=Find(u),v=Find(v);
	if(u<v) fa[u]=v;
	else fa[v]=u;
}
void dfs(int u)
{
	//本来是:
	//for(int i=hd[u];i;i=edge[i].nxt)
	//但这里加了当前弧优化 让hd[]和i一起走 
	while(hd[u])
	{
		int i=hd[u];
		hd[u]=edge[i].nxt;
		if(edge[i].w)
		{//当前边的反向边没有被选 
			int f=edge[i].w;
			edge[i].w=0;
			edge[i^1].w=0;//反向边不能再选 
			//d[u]--;
			//d[edge[i].v]--;度数只用于判断是否有解 后面没有实际影响 
			dfs(edge[i].v);
			st[++tot]=f; 
		}
	}
	return ;
}
void solve1()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=rd(),v=rd();
		add(u,v,i);
		add(v,u,-i);
		d[u]++,d[v]++;
		Union(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]&1)
		{
			puts("NO");
			return ;
		}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i])
		{//只要求每条边经过一次 "孤岛"没有影响 
			if(!flag) flag=Find(i);
			else if(flag!=Find(i))
			{
				puts("NO");
				return ;
			}
		}
	int s=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i])
		{
			s=i;
			break;
		}
	dfs(s);
	puts("YES"); 
	while(tot)
		printf("%d ",st[tot--]);
}
void dfs2(int u)
{
	while(hd[u])
	{
		int i=hd[u];
		hd[u]=edge[i].nxt;
		if(edge[i].w)
		{
			int f=edge[i].w;
			edge[i].w=0;
			dfs2(edge[i].v);
			st[++tot]=f;
		}
	}
	return ;
}
void solve2()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=rd(),v=rd();
		add(u,v,i);
		d[u]++,ind[v]++;
		Union(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]!=ind[i])
		{
			puts("NO");
			return ;
		}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]||ind[i])
		{
			if(!flag) flag=Find(i);
			else if(flag!=Find(i))
			{
				puts("NO");
				return ;
			}
		}
	int s=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]||ind[i])
		{
			s=i;
			break;
		}
	dfs2(s);
	puts("YES");
	while(tot)
		printf("%d ",st[tot--]);
}
int main()
{
	T=rd(),n=rd(),m=rd();
	Init();
	if(T==1) solve1();
	else solve2();
	return 0;
}

►Code View Ver.2

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
#define N 100005
#define M 200005
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
	return f*x;
}
vector<pair<int,int> >G[N];
void add(int u,int v,int w)
{
	G[u].push_back(make_pair(v,w));
}
int Abs(int x)
{
	if(x>=0) return x;
	return -x;
}
bool vis[M];

int T,m,n;
int fa[N],d[N],ind[N],st[N*10],tot;
void Init()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
		fa[i]=i;
}
int Find(int x)
{
	if(fa[x]==x) return x;
	return fa[x]=Find(fa[x]);
}
void Union(int u,int v)
{
	u=Find(u),v=Find(v);
	if(u<v) fa[u]=v;
	else fa[v]=u;
}
void dfs(int u)
{
	for(int i=G[u].size()-1;i>=0;i--)
	{
		int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
		if(vis[Abs(w)]) continue;
		vis[Abs(w)]=1;
		G[u].pop_back();
		dfs(v);
		st[++tot]=w;
	}
	return ;
}
void solve1()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=rd(),v=rd();
		add(u,v,i);
		add(v,u,-i);
		d[u]++,d[v]++;
		Union(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]&1)
		{
			puts("NO");
			return ;
		}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i])
		{//只要求每条边经过一次 "孤岛"没有影响 
			if(!flag) flag=Find(i);
			else if(flag!=Find(i))
			{
				puts("NO");
				return ;
			}
		}
	int s=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i])
		{
			s=i;
			break;
		}
	dfs(s);
	puts("YES"); 
	while(tot)
		printf("%d ",st[tot--]);
}
void dfs2(int u)
{
	for(int i=G[u].size()-1;i>=0;i--)
	{
		int v=G[u][i].first,w=G[u][i].second;
		if(vis[w]) continue;
		vis[w]=1;
		G[u].pop_back();
		dfs(v);
		st[++tot]=w;
	}
	return ;
}
void solve2()
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=rd(),v=rd();
		add(u,v,i);
		d[u]++,ind[v]++;
		Union(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]!=ind[i])
		{
			puts("NO");
			return ;
		}
	int flag=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]||ind[i])
		{
			if(!flag) flag=Find(i);
			else if(flag!=Find(i))
			{
				puts("NO");
				return ;
			}
		}
	int s=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]||ind[i])
		{
			s=i;
			break;
		}
	dfs2(s);
	puts("YES");
	while(tot)
		printf("%d ",st[tot--]);
}
int main()
{
	T=rd(),n=rd(),m=rd();
	Init();
	if(T==1) solve1();
	else solve2();
	return 0;
}