SPOJ1557 GSS2-Can you answer these queries II【线段树】

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题目解析

呐，是一道非常有意思的线段树的题呢（奇怪的语气

仅仅只是比GSS1多了一个去重的要求，思维方式就完全不一样了呢（更奇怪的语气

咳咳

像GSS1那样简单粗暴地维护$sum,mx,mxl,mxr$是无法处理“重复”这个限制的，我们需要用一种不同的方式来处理，我也是看了题解才知道怎么做，不过方法真的很妙！

我们把询问离线下来，按照右端点从小到大排。

然后遍历$1$到$n$，依次插入$a[i]$，然后对每个$r==i$的询问进行处理。这么做的话，就达到了查询时，没有右端点右边的元素的效果。

首先，我们引入$A[j]=a[j]+a[j+1]+...+a[i]$

即：

$A[1]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[i]$

$A[2]=a[2]+a[3]+...+a[i]$

$A[3]=a[3]+...+a[i]$

...

$A[i]=a[i]$

$A[i+1]=0$

关于插入

考虑插入一个新元素$a[i+1]$，这时$i=i+1$

所以$A[j]=a[j]+a[j+1]+...+a[i]+a[i+1]$

讲道理，我们应该把每一个$A[j]$加上$a[i+1]$，但是要去重，所以我们应该把不含$a[i+1]$的所有$A[j]$加上$a[i+1]$

那么具体是哪些数呢？设$pre[a[i+1]]$是上一次$a[i+1]$出现的位置，那么在更新$pre[a[i+1]]$那个位置的时候，我们就已经把所有的$pre[a[i+1]]$以前的$A[j]$都已经加了一次$a[i+1]$了，它们不需要重复再加，所以应该把区间$[pre[a[i+1]]+1,i+1]$之间的数集体加$a[i+1]$

小结：插入$a[i+1]$时，把$A[pre[a[i+1]]+1]$到$A[i+1]$之间的所有数加$a[i+1]$

容易发现这是一个区间加法，我们可以对$A[]$建线段树维护。

关于查询

对于一个查询区间$[l,r]，r==i$，我们在插入$a[i]$之后进行查询。

如果枚举一个答案的左端点$j,j>=l$，发现由于$A[]$中不含$r$右边的元素，所以任意一个$A[j]$的右端点都在$r$以内，都是合法的，那么我们以$j$为区间左端点的产生的答案就是$A[j]$出现过的历史最大值。我们要找$[l,r]$的答案，将枚举$j$产生的所有答案取最大值即可。

小结：查询$[l,r]，r==i$，在插入$a[i]$之后进行查询，枚举$j>=l$，答案是所有$A[j]$的历史最大值的最大值。

那么在线段树上再维护一个历史最大和即可。

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►Code View

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 100005
#define DEL 100000
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 998244353
int rd()
{
	int x=0,f=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48); c=getchar();}
	return f*x;
}
int n,m,a[N],pre[N<<1],ans[N];
struct node{
	int sum,hmx,stag,htag;
}tree[N<<2];
/*
叶节点 
sum:对应的A[j]的值 即a[j]+a[j+1]+...+a[i]
hmx:sum的历史最大值
其它节点
sum:对应区间sum的最大值
hmx:对应区间hmx的最大值
stag和htag分别为对应的懒标记 
stag是当前区间应该加多少
htag是从上一次下传标记到现在出现过的历史最大懒标记(即出现过的最大的往下面区间加多少的值 
*/
struct queries{
	int l,r,id;
}q[N];
bool cmp(queries x,queries y)
{
	return x.r<y.r;
}
void PushUp(int i)
{
	tree[i].sum=max(tree[i<<1].sum,tree[i<<1|1].sum);
	tree[i].hmx=max(tree[i<<1].hmx,tree[i<<1|1].hmx);
	tree[i].stag=tree[i].htag=0;
}
void PushDown(int i)
{
	tree[i<<1].hmx=max(tree[i<<1].hmx,tree[i<<1].sum+tree[i].htag);
	tree[i<<1].sum+=tree[i].stag;
	tree[i<<1].htag=max(tree[i<<1].htag,tree[i<<1].stag+tree[i].htag);
	tree[i<<1].stag+=tree[i].stag;
	
	tree[i<<1|1].hmx=max(tree[i<<1|1].hmx,tree[i<<1|1].sum+tree[i].htag);
	tree[i<<1|1].sum+=tree[i].stag;
	tree[i<<1|1].htag=max(tree[i<<1|1].htag,tree[i<<1|1].stag+tree[i].htag);
	tree[i<<1|1].stag+=tree[i].stag;
	
	tree[i].stag=tree[i].htag=0;
}
void Update(int i,int l,int r,int ql,int qr,int val)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
	{
		tree[i].sum+=val,tree[i].hmx=max(tree[i].hmx,tree[i].sum);
		tree[i].stag+=val,tree[i].htag=max(tree[i].htag,tree[i].stag);
		return ;
	}
	PushDown(i);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(ql<=mid) Update(i<<1,l,mid,ql,qr,val);
	if(qr>mid) Update(i<<1|1,mid+1,r,ql,qr,val);
	PushUp(i);
	return ;
}
node Query(int i,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
		return tree[i];
	PushDown(i);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(qr<=mid) return Query(i<<1,l,mid,ql,qr);
	else if(ql>mid) return Query(i<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	else
	{
		node x=Query(i<<1,l,mid,ql,qr),y=Query(i<<1|1,mid+1,r,ql,qr),res;
		res.sum=max(x.sum,y.sum);
		res.hmx=max(x.hmx,y.hmx);
		res.htag=res.stag=0;
		return res;
	}
}
int main()
{
	n=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=rd();
	m=rd();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		q[i].l=rd(),q[i].r=rd(),q[i].id=i;
	sort(q+1,q+m+1,cmp);
	int j=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		Update(1,1,n,pre[a[i]+DEL]+1,i,a[i]);
		pre[a[i]+DEL]=i;
		while(q[j].r==i&&j<=m)
			ans[q[j].id]=Query(1,1,n,q[j].l,q[j].r).hmx,j++;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}