【学习笔记】线性筛欧拉函数

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Bases

这里给出的筛法是以线性筛素数的方法为基础的。

利用了欧拉函数是积性函数的性质:对于任意互质的数$a$,$b$,有$f(a*b)=f(a)*f(b)$

筛法

类比于线性筛素数。

$i$以下的欧拉函数已经被筛出，我们利用$i$和$prim$往后更新。

如果$i$是素数，那么$\varphi(i)=i-1$

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如果$i\%prim[j]!=0$ ,那么$(i,prim[j])==1$, 则有$\varphi(i*prim[j])=\varphi(i)*\varphi(prim[j])=\varphi(i)*(prim[j]-1)$

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如果$i\%prim[j]==0$，则$\varphi(i*prim[j])=\varphi(i)*prim[j]$（先甩结论）

有两个证法：

1.

$i\%prim[j]==0$不能直接算的原因是它两个不互质，那我们把它写成互质的样子。

设$i*prim[j]=A*prim[j]^{m-1}*prim[j]=A*prim[j]^m$

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有个结论：如果$p$是质数，那么$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}*(p-1)$

比较显然，$p^k$是数的总数，而$p^k$只有$p$这一个质因子，所以它的因数都是$p$的倍数，即$1*p,2*p,3*p,...,p^{k-1}*p$，$p^k$的包含自己在内的因数个数有$p^{k-1}$个。

用总数$p^k$减去因数个数$p^{k-1}$就是 $\varphi (p^k)$。（这里总数和因数个数都算了自己本身，一减就把自己减掉了，所以没有影响）

$\varphi(p^k)=p^{k-1}*(p-1)$

$\varphi(p^{k-1})=p^{k-2}*(p-1)$

联立以上二式可得：$\varphi(p^k)=\varphi(p^{k-1})*p$

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以下将$prim[j]$简写成$p$

$\varphi(i*p)=\varphi(A)*\varphi(p^{m})=\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})*p$

而$A*p^{m-1}=i$,则$\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})=\varphi(i)$

那么$\varphi(i*p)=\varphi(A)*\varphi(p^{m-1})*p=\varphi(i)*p$

$Q.E.D.$

2.

欧拉函数有个通式：（先甩式子再证明）
$\varphi(n)=n*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{p_n})$，$p_i$是质因数

那么

$\varphi(i)=i*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})$

$\varphi(i*prim[j])\\=(i*prim[j])*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})\\=i*(1-\frac{1}{p_1})*(1-\frac{1}{p_2})*...*(1-\frac{1}{prim[j]})*prim[j]\\=\varphi(i)*prim[j]$

然后来说一下那个什么通式怎么来的：

这里也给出两个证法：

1.容斥原理

设$n$的其中一个质因子是$p$ ，$[1,n]$中$p$的倍数有$p,2p,3p,...\frac n p*p$一共$\frac n p$个数，$[1,n]$中不含因子$p$的数就一共有$n-\frac n p$个

设$n$的另外一个质因子是$q$，同理可得$[1,n]$中不含因子$q$的数就一共有$n-\frac n q$个，根据容斥原理，$[1,n]$中两个质因子均不含的数的个数为$n-\frac n p-\frac n q+\frac n {pq}=\frac {n(pq-q-p+1)} {pq}=\frac{n(p-1)(q-1)}{pq}=n*\frac{p-1}p*\frac{q-1}q=n*(1-\frac 1 p)*(1-\frac 1 q)$

推广到$n$的每一个质因子(变形时用到了分组分解因式的方法)，可得$[1,n]$中所有$n$的质因子均不含的数的个数为$n*\prod_{i=1}^k(1-\frac 1 {p_i})$，其中，$p_i$是$n$的质因子。

即$\varphi(n)=n*\prod_{i=1}^k(1-\frac 1 {p_i})$

2.利用积性函数的性质

$n=0$时，$\varphi(n)=0$ 成立

$n=1$时，$\varphi(n)=1$ 成立

$n$为质数时,$\varphi(n)=n-1$ 成立

$n$为一个质数的正整数次幂，即$n=p^k$时，$\varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}=p^{k}*(1-\frac1 p)=n*(1-\frac1 p)$ 成立

$n$为任意正整数时，根据算术基本定理可得$n=p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...p_m^{k_m}$，其中$p_i$为质因数

根据积性函数的性质$\varphi(n)\\=\varphi(p_1)\varphi(p_2)...\varphi(p_m)\\=p_1^{k_1}(1-\frac 1{p_1})p_2^{k_2}(1-\frac 1{p_2})p_3^{k_3}(1-\frac 1{p_3})...p_m^{k_m}(1-\frac 1{p_m})\\=n*(1-\frac 1{p_1})(1-\frac 1{p_2})...(1-\frac 1{p_m})$

$Q.E.D .$

（怎么觉得证明通式比证明这个结论本身还要复杂

Code View

void Phi()
{
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) prim[++pn]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pn&&i*prim[j]<=n;j++)
		{
			vis[i*prim[j]]=1;
			if(i%prim[j]==0)
			{
				phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
				break;
			}
			else phi[i*prim[j]]=phi[i]*(prim[j]-1);
		}
	}
}