CF444A DZY Loves Physics【结论】

题目传送门

话说这道题不分析样例实在是太亏了...结论题啊...

但是话说回来不知道它是结论题的时候会不会想到猜结论呢...毕竟样例一、二都有些特殊。

观察样例发现选中的子图都只有一条边。

于是猜只有一条边的时候解最优。

飞快地写个暴力，然后和结论对拍，然后假装这个结论是对的，然后就 $AC$ 了（大雾

还是证明一下这个结论吧：

用反证法。

设这样三个点的点权分别为 $A$ , $B$ , $C$ ，两条边的边权为 $n$ , $m$

假设子图中有 $A,B,C$ 三个点比只有两个点更优。

也就是三个点都选的答案比只选 $AB$ 和只选 $BC$ 都大。

三个都选的答案： $(A+B+C)/(n+m)$

只选 $AB$ : $(A+B)/m$

只选 $BC$ : $(B+C)/n$

则：

$(A+B+C)/(n+m)>(A+B)/m$

$(A+B+C)/(n+m)>(B+C)/n$

化简：（权都是正数）

$(A+B+C)*m>(A+B)*(n+m)$

$(A+B+C)*n>(B+C)*(n+m)$

$↓$

$C*m>A*n+B*n$

$A*n>B*m+C*m$

相加：
$C*m+A*n>A*n+B*n+B*m+C*m$

$0>B*n+B*m$

由于 $B$ 和 $n$ , $m$ 都是正数，导出矛盾。

所以假设不成立。

另外，如果 $AC$ 之间有连边的话，那三个都选肯定更不优，分子不变，分母变大了嘛。只选 $AC$ 都不用讨论，至少在这种情况下三个都选干不过只选 $AB$ 或 $BC$ 。

暴力程序（拿来对拍）

有同学写的 $2^n$ 枚举子集的暴力，我觉得略麻烦，还是更喜欢自己的（笑）

甚至还想优化一下自己的暴力，就是在以 $1$ 以外的点为起点的时候，就不把 $1$ 加进去，因为 $1$ 有的状态已经在 $1$ 为起点的算过了。

但是反正是拿来写对拍嘛，节约考试时间。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<vector>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 #define N 505
 7 #define ll long long
 8 int n,m;
 9 int a[N];
10 bool vis[N];
11 double ans=0.0;
12 vector<pair<int,int> >G[N];
13 int rd()
14 {
15     int f=1,x=0;char c=getchar();
16     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
17     while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
18     return f*x;
19 }
20 void dfs(int u,int d,int b)
21 {
22     for(int i=0;i<G[u].size();i++)
23     {
24         int v=G[u][i].first;
25         if(vis[v]) continue;
26         vis[v]=1;
27         int tmp=0;
28         for(int j=0;j<G[v].size();j++)
29             if(vis[G[v][j].first]) tmp+=G[v][j].second;
30         dfs(v,d+a[v],b+tmp);
31         vis[v]=0;
32     }
33     if(b==0) return ;
34     ans=max(ans,1.0*d/b);
35 }
36 int main()
37 {
38     n=rd(),m=rd();
39     for(int i=1;i<=n;i++)
40         a[i]=rd();
41     for(int i=1;i<=m;i++)
42     {
43         int u=rd(),v=rd(),w=rd();
44         G[u].push_back(make_pair(v,w));
45         G[v].push_back(make_pair(u,w));
46     }
47     for(int i=1;i<=n;i++)
48     {
49         vis[i]=1;
50         dfs(i,a[i],0);
51         vis[i]=0;
52     }
53     printf("%.9f\n",ans);
54     return 0;
55 }
56 //不分析样例真的是个不好的习惯啊

Code

正解程序：（比暴力好写）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<vector>
 4 #include<queue>
 5 using namespace std;
 6 #define N 505
 7 #define ll long long
 8 int n,m;
 9 int a[N];
10 double ans=0.0;
11 int rd()
12 {
13     int f=1,x=0;char c=getchar();
14     while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
15     while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
16     return f*x;
17 }
18 int main()
19 {
20     n=rd(),m=rd();
21     for(int i=1;i<=n;i++)
22         a[i]=rd();
23     for(int i=1;i<=m;i++)
24     {
25         int u=rd(),v=rd(),w=rd();
26         ans=max(ans,1.0*(a[u]+a[v])/w);
27     }
28     printf("%.9f\n",ans);
29     return 0;
30 }